Статья: Способ доказательства теоремы Ферма в общем виде с помощью методов элементарной математики

Н.И.Пичугин

Ученые-математики вот уже 400 лет безуспешно бьются над доказательством теоремы Ферма. Они категорически отрицают доказательство теоремы элементарными способами. Столь длительные попытки доказательства, по-видимому связаны с отсутствием регулярной работы над темой и малой ее актуальной значимостью. Ведь нашли же российские ученые при крайней нужде, в срочном порядке, методы защиты отечественных кораблей от магнитных мин противника. Некоторые ученые считали доказательство теоремы даже неразрешимой задачей. Тем не менее, наконец в 1995 году обнародовано доказательство теоремы Ферма английским ученым А.Уайлсом. Оно базируется на последние достижения математической науки и является по существу результатом коллективного труда определенного круга математиков, работающих в различных направлениях математических исследований.

А.Уайлс в своем доказательстве исходит из того, что теорема Ферма вписывается, является следствием гипотезы Таниямы о модулярных эллиптических образованиях. Такое заключение сделано на основании ограниченного количества точек x,y,z из теоремы Ферма, которые позволяют утверждать автору, что эти точки характиризуют все сочетания x,y,z и n в качестве причастных к модулярным эллиптическим кривым. Доказательство А. Уайлса – сложное и трудоемкое, т.к. потребовалось доказать справедливость самой теоремы Таниямы и причастность элементов теоремы к модулярным эллиптическим кривым. При этом становится неясным: то ли доказывается справедливость гипотезы Таниямы с помощью недоказанной теоремы Ферма, то ли доказывается теорема Ферма с помощью недоказанной гипотезы Таниямы. Доказательство любой теоремы должно базироваться на общепризнанных постулатах. Доказательство А. Уайлса занимает 150 страниц печатного текста и изложено специальным математическим языком, мало доступным большинству интересующихся. Но главный его недостаток – оно не является прямым и непосредственным. Вызывает сомнение отсутствие взаимосвязи показателей степеней n>2 со степенями n=1 и 2 , не показана распространенность условий теоремы Ферма по плоскости XOY и в частности на целые отрицательные числа. Я не берусь подвергать сомнению подобное доказательство, но считаю необходимым утверждать, что любые три точки xn ,yn ,zn могут вписываться в степенные числовые ряды, в треугольники Пифагора или, как будет показано ниже, станут исходными при доказательстве теоремы элементарными методами. Это свидетельствует о том, что доказательство теоремы Ферма с помощью модулярных элептических кривых не является единственно возможным и приемлемым в общем виде. Могут появиться и другие доказательства, в том числе и с использованием элементарной математики.

После опубликования доказательства А.Уайлса в математических журналах в интернете появляются новые доказательства любителей математики, что свидетельствует о их неугасающем интересе к теме и стремлении к поиску более простого и доступного к пониманию непосредственного доказательства теоремы Ферма. Этот процесс в большинстве своем не преследует каких-либо корыстных целей, а скорее всего носит бескорыстный спортивный или престижный характер.

Вопреки мнению ученых математиков, ниже предлагается к обсуждению официальным лицам из института им. В.А. Стеклова и любителям математики из Интернета компактный, практически на 2-х страницах способ элементарного доказательства теоремы Ферма в общем виде, основанный на разложении уравнений Ферма по биному Ньютона на его составляющие. Это позволяет после преобразования уравнений Ферма

xn +yn =zn (1)

к виду

(x - a)n + xn - (x+b)n = 0 (2) где x, a и n – целые числа, а b - целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x, a и n; одновременно:

- упростить доказательство, сведя его к одному неизвестному;

- Выяснить взаимосвязь b с параметрами x, a и n;

- определить структурную формулу для x в поисках целых решений при всех показателях степеней n; - выявить причину образования нецелых z при n>2;

- показать, что на плоскости XOY уравнения Ферма имеют нецелые решения для z при n>2, как для положительных, так и для отрицательных чисел x и y , за исключением квадрантов II и IV при нечетных n, где теорема Ферма не имеет смысла.

Итак, приступим к разложению уравнений (2) по биному Ньютона относительно основополагающего параметра x:

(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3...... +an

-(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3.......+bn

Δ= xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)…+(an+bn) =0 (3)

Мы получили основное уравнение (3) для поиска целых решений z

Упростим уравнение (3), приняв в нем а=b=1,2,3…. При этом доказательство теоремы сводится к решению задачи с одним неизвестным х (обоснование принятия а=b=1,2,3… см. ниже). В этом случае выражение (3) после решения его относительно х примет вид:

xn = 2nxn-1 a + 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 + ... (an + an )… (4)

Обозначим через P(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда оно примет вид: xn = 2nxn-1 a + P(a,n). Разделив левую и правую части уравнения (5) на xn-1 , получим искомое структурное выражение для х:

x=2na+P(a,n)/xn-1 (5)

в котором 2na – целое число, а добавка P(a,n)≥0 – функция, от которой зависит доказательство теоремы Ферма. При P(a,n)=0 для n =1и 2 имеют место решения z в целых числах; для n>2 P(a,n)>0 и z при решении получаются нецелыми. В этом заключаются отличия уравнений Ферма степеней n=1 и 2 от уравнений степеней n>2. Следовательно, доказательство теоремы Ферма сводится к доказательству того, что функция P(a,n)/xn-1 при n>2 всегда является нецелым числом.

Перед доказательством предварительно введем понятие исходных x,y,z, играющих основополагающую роль при доказательстве. Собственно в основном все доказательство теоремы сводится к доказательству ее при исходных x,y,z. Из допущений а=b=2,3,4… примем а=b=1. Тогда получим

x=2n+P(1,n)/xn-1 y=x-1 и z=x+1 (6)

Эти параметры и будем считать исходными при доказательстве теоремы Ферма. Другие параметры x,y,z, соответствующие выражению а=b=2,3,4…повторяют результирующие характеристики исходных x,y,z на более удаленных х , пропорционально числам 2,3,4.

Возвращаясь к доказательству, предварительно сократим числитель и знаменатель в добавке P(1,n)/ xn-1 на общие сомножители и приведем ее к виду:

P(1,n)/ xn-1= 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4+ 2cn7 /x6+…( 1+ 1 )/xn-1 (7)

В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk – целые числа, распределение которых симметрично относительно центра с максимумом в точке (n+1)/2. В знаменателе – функция х2, нарастающая по квадратичному закону. В первой половине разложения (7) из-за нарастания числителя и относительной малости знаменателя образуется большая числовая сумма. Во второй половине разложения из-за убывания числителя и резкого увеличения знаменателя образуется числовая сумма значительно меньше первой. Отметим, что непосредственное определение параметра х предлагаемым способом доказательства предусматривается осуществлять с помощью метода последовательных приближений, при котором все подставляемые х, кроме начального, являются нецелыми числами. Следовательно, суммы в первой и второй половине разложения (7) , как результат деления числителей на нецелые знаменатели, будут нецелыми. Результат их суммирования будет также нецелым. Если в исключительном случае (что невероятно) предположить, что в полученной общей сумме после запятой вычислялись значащие цифры до принятого порядка, например 109 и все они оказались равными нулю, то последующий расчет до порядка 1010 , из-за малого приращения сделает сумму обязательно нецелой. Нецелой становится и P(1,n)/ xn-1 , а это означает, что теорема Ферма доказана для n>2 .

Обратимся теперь к правомочности принятия допущения а=b=1,2,3…. При доказательстве теоремы принято а=b=1. В общем случае а изменяется в пределах от 0 при у=х и n=1 до х при у=0. Ему соответствует изменение b в пределах 2 при а=0, n=1, до 0 при а=х. При х>y имеем:

. . Отсюда b≤x . (n√2-1). Это неравенство соблюдается при всех изменениях а. Нас интересует выбор a и b. За исходное принято а=1 потому, что при нем обеспечивается максимальное значение z и оно наиболее близко к предельному z=x n√2. Соответствующее ему b=1 принято из следующих соображений. С ростом n величина b уменьшается , проходя через точку b=2 при n =1, точку b=1,657 при n=2, далее переходит через точку b=1 при неизвестном n и, становясь меньше 1, уменьшается до 0 при увеличении n до бесконечности. b=1 оказывается единственным целым числом для n>2, при котором возможны целые z.

Полнота и общность предлагаемого доказательства может быть проиллюстрирована также возможностями частных доказательств теоремы, вытекающих из следствий общего доказательства, при целых положительных и отрицательных x и y. Благодаря допущению a=b=1, исходные x, y, z оказываются расположенными рядом на расстоянии 1 друг от друга в следующей последовательности: x-1, x , x+1. Это свойство может быть использовано для доказательства теоремы Ферма при помощи треугольников Пифагора, числовых степенных рядов и др. Треугольники Пифагора при n>2 отражаются на плоскости xOy в виде остроугольных треугольников в квадрантах плоскости xOy I и IV или тупоугольных квадрантах II и III. Для первых характерно xn+(x-1)n<(x+1)n и положительный

cos B = 0,5-1,5/(x-1).

Для вторых xn+(x-1)n>(x+1)n и отрицательный cos B. Нецелость теоремы Ферма доказывается через нецелость cos B в искаженных треугольниках.

При использовании элементов уравнений Ферма xn, yn, zn в качестве составляющих элементов числовых степенных рядов представляется возможным при n>2 и a=b=1,2,3… непосредственно убедиться в нецелостности z при суммировании в рядах xn=(2n)n и yn=(2n-1)n .

Особого внимания заслуживает вероятностный подход к доказательству теоремы Ферма. Его сущность заключается в использовании степенных рядов, состоящих из порядковых натуральных чисел 1,2,3… и их степеней 1n,2n,3n…Между степенями размещаются порядковые целые числа, к примеру, между 22 и 32 находятся числа 5,6,7,8. Из них нельзя извлечь целые квадратные корни так как они находятся между двумя рядом стоящими целыми числами. Это позволяет утверждать, что любая степень в ряду содержит сумму всех предыдущих степеней, которые при извлечении из них корней дает как целые, так и нецелые корни при всех степенях n. Следовательно, для каждого x можно определить вероятность (частость) P= x/xn , где в числителе целые x, а в знаменателе – сумма целых и нецелых x, или после сокращения на x: P=1/xn-1 , где 1 – одиночное событие, а xn-1 – МОЖ, Математическое ожидание количества экспериментальных попыток для получения 1-го события (широко используется в артиллерийской практике). Если теперь предположить, что в степенных рядах находятся уравнения Ферма xn+yn=zn, удовлетворяющие условию a=b=1,2,3… и они дают нецелые решения z в рядах(см. изложенное выше), то для них в тоже время можно определить вероятность получения целых z P=1/(xa+a)n-1 и МОЖ = (xa+a)n-1 .

Рассмотрим на конкретном примере условия получения целого z для n=4 при условиях: a=b=1; x=2*4=8; z=8+1=9. Для них P=1/93 и МОЖ=729 – Столько потребуется экспериментальных попыток из сочетания x и y , чтобы получить одно целое z. (Число m=38 определяется из соотношения =m!/2!(m-2)!=((m-1)*m)/2=729. Решая уравнение m2-m-1458=0, получим m примерно равно 38) Для нецелых z =36<<729, чего явно не достаточно для выявления целого z и с позиции экспериментатора оно остается нецелым числом, т.к. реализация вероятности P=1/93 возможно только при условии =МОЖ=729.

С ростом x и n МОЖ резко возрастает, что ставит под сомнения возможности экспериментальных проверок. При n=3 и 4 эти возможности реально существуют и могли бы стать подтверждением наличия целых z при n>2 для n=3 в окрестностях x=6, y =5 при МОЖ=49; для т=4 x=8; y=7; при МОЖ=729. Это позволило бы судить о двойственности теоремы Ферма более конкретно, а с другой стороны, оценить правомочность вероятностного подхода к оценки теоремы Ферма.

В заключение, помимо сказанного, следует добавить: предложенный способ доказательства достаточно просто и убедительно освещает причину нецелых решений z при n>2 и целых решений при n=2. Он позволяет рассматривать доказательство, как единый процесс, распространенный на все показатели степеней, начиная с n=1 и расстояний от исходного x=2 при n=1 до бесконечности.

Теорема на плоскости xOy – достоверна, как при положительных целых x, y так и отрицательных x, y, за исключением квадрантов II и IV плоскости xOy при нечетных n, где она не имеет смысла (рассмотрение xn-yn=zn теоремой не предусмотрено)

Есть основание полагать что при n>2 уравнения Ферма могут иметь целые решения для z, что потребует трудоемких экспериментальных исследований для их подтверждения.

С уважением: Н.И.Пичугин, ветеран ВОВ и ВС Инвалид II группы