Рефераты по биологии
Рефераты по экономике
Рефераты по москвоведению
Рефераты по экологии
Краткое содержание произведений
Рефераты по физкультуре и спорту
Топики по английскому языку
Рефераты по математике
Рефераты по музыке
Остальные рефераты
Рефераты по авиации и космонавтике
Рефераты по административному праву
Рефераты по безопасности жизнедеятельности
Рефераты по арбитражному процессу
Рефераты по архитектуре
Рефераты по астрономии
Рефераты по банковскому делу
Рефераты по биржевому делу
Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству
Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту
Рефераты по валютным отношениям
Рефераты по ветеринарии
Рефераты для военной кафедры
Рефераты по географии
Рефераты по геодезии
Рефераты по геологии
Реферат: Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Реферат: Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Экзаменационная программа
По курсу математического анализа для студентов групп 03-112 - 116.
1. Понятие n-мерного арифметического пространства Rn. Метрика. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества в Rn.
2. Общее определение функции. Сложная, неявно и параметрически заданная функции, обратная функция.
3. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Переход к пределу в неравенствах.
5. Понятие предела функции. Односторонние пределы. Теорема о единственности преЯсла. Теорема об ограниченности (на некоторой окрестности точки а } функции f(х), имеющей конечный предел при х а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и
. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры.
53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
#1{ пространство}Множ всех упорядоченных наборов n действ чисел с определенными на этом мн-ве функциями p(x,y) называется n-мерным арифметическим пространством и обозн Rn. {Открытые и замкнутые множ в прос-ве R ''}Множ xR'' назыв открытым если весь Х лежит в R то для любой точки xX >0 такая что U(x,) принадл Х любое открытое множ содерж данную точку называется его окрестностью. Точка х принадл пространству R'' назыв точкой прикосновения Х содержащейся в R'' если любая окрестность этой точки содержит точки множ-ва Х Множ-во содерж все свои точки прикосновения называется замкнутым {Метрическое пр-во.} Метрическим пространством называется пара (x,) состоящая из мн-ва Х и действит не отриц функции опред на множ Х и удовл след св-вам 1 (x,y)=0 x=y1; 2) p(x,y)= p(y,x) x,yX; 3) p(x,y) x,y,z X в этом случае функция метрикой число р(х,у)- расст м/у точками х и у
#2Если каждому значению перем величины х принадл мн-ву Е соотв одно и только одно значение величины у то у называется ф-ей от оси х или зависимой переменной определенной на множ Е, х называется аргументом или независ переменной. Если кажд знач х принадл некоторому мн-ву Е соотв одно или несколько знач переменноой величины у то то у называется многозначной функцией. {}Ф-ия у от х заданная цепью равенств у=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложной ф-ией или композицией ф-ий f и u {}Ф-ия заданная ур-нием не разрешенным относит завис перееменной назыв неявной пример: х*х*х +у*у*у=1 у – неявная ф-ия от х {}пусть на множ Т заданы 2 ф-ии х=(t) у=(t) :TX :TY причем для функции ф существует обратная t=(x) :X T тогда на множ Х опред ф-ия f:XY следующим равенством f(x)=((x)) ф-ия f назыв параметрич заданной ф-иями (t) (t) {}обр ф-ия пусть f:ХY взаимно однозначное отображение множ Х на множ Y тогда опред отображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображ называется обратным к f и обознач f( в степ -1)
#3Пусть Х какое либо мн-во всякое отобр f: N®X называется послед эл-тов Х элемент f(n) n-ый член последовательности и обозн хn cама послед f:N®X обозн {Xn} или Хn n=1,2,3… число а назыв пределом послед {Xn} и обозн А=lim(n®Ґ)xn если "e>0 $ne =n(e)ОN тако что при n>ne выполн нер-во /Хn-А/e нер-во эквивал след.: А-ee обознач на граф чертеже эти точки тогда данное нер-во означ что все члены послед начиная с нек номера попадают в интервал (А-e;А+e). Если {Хn} имеет предел то он единственный {Док-во} предп обратное lim(n®Ґ)xn=a lim(n®Ґ)xn=b aЮ для e1=r-a>0 $n1 при n>n1 /xn-a/e1=r-a Ю a-r Ю xnn1 для e2=b-r>0 $ n2 такое что при n>n2 /xn-b/e2=b-r Ю r-b xn>r при n>n2 пусть no=max(n1,n2)=> при n>no xn>r xn a=b Теор док.{Т} Сходящаяся последовательность ограничена. {Док} Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.
#4послед {xn} назыв б м п если lim(n®Ґ)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/e при n>ne = lim(n®Ґ) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/" n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yne/M)*M=e => lim(n®Ґ)(xnyn)=0 чтд {Т} Если n0:n>n0 aNbNcN и Lim aN=a, Lim cN=c, причем a=c, то Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда n’: n>n’ => cN n”: n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NbNcN n>max{n0,n’,n”}=>bN(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, n0: n>n0 хNyN, тогда xy {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела n0’: n>n0’ |хN-х| n0”: n>n0” |yN-y|n>max{n0’, n0”}: |хN-х|N-у|(х-Е,х+Е)=. n>max{n0’, n0”} хN(х-Е,х+Е) & уN(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.
#5 {О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при xa если E>0 =(E)>0 : x 0 вып. |f(x)-A|xaf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 | x 0 |f(x)| limxaf(x)= {O limxaf(x)=+} Если E>0 =(E)>0 : x 0 вып f(x)>E {O limxaf(x)=-} Если E>0 =(E)>0 : x 0 вып f(x)xf(x)=A} Если >0 =()>0 : x |x|> вып |f(x)-A| {O limxf(x)=} Если E{бол}>0 =(E)>0 : x |x|> вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb xa+0(-0) называется число А / >0 =()>0 при x a(-)) |f(x)-A| A=limxa+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limxa, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limxaf(x)=A limxaf(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;); U(B;), тогда для данного 1) =()>0 | при x 0 |f(x)-A| f(x)U(A;) 2) 2=2()>0 | при x 02 |f(x)-B| f(x)U(B;) Пусть 0=max(1,2), тогда при х уд. 00 вып. f(x)U(A;E), f(x)U(B;E) Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при xa f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. limxaf(x)=A, то для =1 >0 | при x 0 вып. |f(x)-A| |f(x)|=|f(x)-A+A||f(x)-A|х уд 0 -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ ха если limxaf(x)=0 {o} ф-ция ББ если limxaf(x)=+(-) {T} Если f(x) бб при ха, то 1/f(x) бм при ха. Если f(x) бм при ха и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при ха {Док} Возьмём E>0 =(E) >0 | при x уд. 0 |f(x)|>1/E 1/f(x)x уд 0 1/f(x) бм при xa Пусть f(x) – бм при xa и 1>0 | x, уд. 01 f(x)0 возьмём E{бол}>0 тогда 2>0 | при 02 |f(x)|=min(,2) при x , 0 вып-ся f(x)0, |f(x)| 1/f(x)>E 1/f(x) –бб при ха {T} Сумма двух б.м при xa есть бм при xa {Д} Пусть limxaf1(x)=0 limxaf2(x)=0 >0, тогда 1=1()>0 | при х 01 |f1(x)|/2 2=2()>0 | при x, 02 |f2(x)|/2 Пусть =min(1,2) x 0 |f1(x)+f2(x)|/2+/2= limxa(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при xa на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при xa {Док} Пусть limxag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(,1) т.е. >0 | х U(a,1) |g(x)| >0 2>0 | при x, 02 |g(x)|/ ; Пусть =min(1,2) x, 0 |f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|/= limxaf(x)g(x)=0
#6 {Т о связи ф-ии и ее пределов.}Для того чтобы А было lim ф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x) f(x)=A+(x) ;Где (x) – б м ф-ия при ха {док-во} Пусть А=lim(ха) f(x) предположим ; (x)=f(x)-A и докажем что (x)-б м ф при ха. Возьмем >0 завис от такое что ()>0 такое что х, 0 => /f(x)-A/ => /(x)/=/f(x)-A/ таким образом (x) – бмф при ха пусть f(x)= (x)+A где (x) – бмф при ха тогда при >0 >0 такая что х удв 0 выполняется /(x)/< => /f(x)-A/=/(x)/ => lim(ха)f(x)=A {Арифмитические операции над пределами ф-ций Т }пусть сущ предел f1(x) при ха =А и сущ lim(ха)f2(x)=B 1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B 2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB 3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0 ; 1-e св-во тк lim(ха)f1(x)=A и lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12= A+B+(x)== где (х) бмф т.к. сумма 2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B {предельный переход в неравенство} пусть lim(ха)f1(x)=b1 lim(ха)f2(x)=b2 и b1 U(a,) такая что х U(a,) => f1(x) 1)1=c-b1>0 1>0 так что хU(a,) /f1(x)-b1/1 = c-b1 => b1-c f1(x)2=b2-c 2>0 так что хU(a,) =>/f2(x)-b2/=b2-c => c-b2 =min(12) =>хU(a,) => f1(x) f1(x)(ха)f1(x)=b1 lim(ха)f2(x)=b2 и U(a,) так что хU(a,) f1(x) b1=b2 в силу предыдущ теоремы сущ U(a,) так что хU(a1,1) => f1(x)>f2(x) o =min(12) =>хU(a1,o) => f1(x)f2(x)- по док-ву => противор =>b1xa(x) ; limxaf(x) причём limxa(x)=A limxa(x)=A и в некоторой окр-ти U(a,) вып-ся (x)f(x)(x) тогда limxaf(x)=A {Док-во} E>0 2>0 | x 02 A-E(x)3>0 | x, 03 A-E(x)=min(1,2,3) x 0 A-E(x)f(x)(x) |f(x)-A|
#7{Теорема о пределе сложной ф-ции} Пусть limxaf(x)=A limyAg(y)=B и в некоторой U(a,1) определена сложная ф-ция g(f(x)) и f(x)А тогда limxag(f(x))=limyAg(y) {Док-во} E>0 т.к. limyAg(y)=B >0 |y , 0 |g(y)-B| limxaf(x)=A для Е1= 1 | x , 0 0 x, 0 |g(x)-B|limxag(f(x))=B=limyAg(y)
#8{сравнение ф-ций} f(x) есть O-большое от ф-ци от ф-ции g(x) на мн-ве Е и пишут f(x) =O(g(x)) на E , если C>0 | |f(x)|C(g(x)) x E f(x)=O(1) на E f(x) ограничена на Е т.е. С>0 | |f(x)|C xE Пусть ф-ция f(x) и g(x) –определены в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой (.) f(x) есть o-малое от g(x) при xa и пишут f(x)=o(g(x)), xa , если в некоторой выколотой окрестности а имеет место f(x)=E(x)g(x), где limxfE(x)=0 x=o(x), x0 f(x)=og(x) , xa E(x)=x h(x)=o(g(x)), xa; (x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x)) xa f(x) есть O-большое от g(x) при xa, если U(a) | f(x)=O(g(x)) на U(a) пишут f(x)=O(g(x)), xa Ф-ции f(x) и g(x) называется эквивалентами xa, если эти ф-ции определены и отличны и отличны от 0 в некоторой окрестности (.) а за исключением быть может самой этой точки и существует предел limxaf(x)/g(x)=1 пишут f(x)g(x) xa {Т} Для того, чтобы ф-ция f(x) и g(x) были эквивалентны, необходимо и достаточно f(x)=g(x)+o(g(x)) xa g(x)0 (xa) {Док-во} Пусть f(x)g(x) , xa тогда по определению g(x) отлично от 0 в U(0) и limxaf(x)/g(x)=1 E(x), E(x)0 при xa | f(x)/g(x)=1+E(x) f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)), xa. Обратно Пусть f(x)=g(X)+o(g(x)) xa , g(x)+o(x+a) f(x)=g(x)+E(x)g(x), где limxaE(x)=0 f(x)/g(x)=1+E(x) limxaf(x)/g(x)=1 f~g(x) xa {Сранение бесконечно малых ф-ций} Пусть f(x) и g(x) –б.м. ф-ции при xa g(x)0 в некоторой U(a) {O} Если отношение f(x)/g(x) при xa имеет конечный и отличный от 0 предел, то ф- ции называются б.м. одного порядка. Если f(x)/g(x)=0 то f(x) само является бесконечно б.м. более высокого порядка по сравнению с g(x) при xa {O} Ф-ция f(x) называется б.м. к-ого относительно б.м. g(x) при xa, Если ф-ция f(x) и gk(x) б.м. одного порядка при xa
№9{Непрерывность ф-ции в точке} Ф-ия назыв непрерывной в точке а если (дельта)f(a)=f(a+h)-f(a) определена в окр точки h=0 и для >0 =()>0 такое что h /h/ /f(a+h)-f(a)/< Для того чтобы ф-ия была f(x) была непрерывна в т а необход и достаточно чтобы сущ f(a+0), f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняя непрерывность} Ф-ция наз. непрерывной справа (слева) если существует f(a+0)=limxa+0f(x) (f(a-0)=limxa-0f(x)) и f(a+0)=f(a) (f(a-0)=f(a)) {классифик точек разрыва} если для ф-ии f(x) в т а f(a+0), f(a-0) конечные значения но ф-ия в точке а имеет разрыв. то говорят что она имеет разрыв 1-го рода если ф-ия в точке а имеет разрыв не 1-го рода то такой разрыв называется разрывом второго рода.{Теорема о сохранении знака непрерывной ф-ции} пусть ф-ия f(x) непрерывна в т а и f(a)0 тогда существует окрестность точки а :U(a) и с>0 такое что f(x)>c xU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)< -c xU(a) при f(a) =/f(a)//2>0 тогда >0 такое что xU(a) => /f(x)-f(a)/< =/f(a)//2 f(x)0 => /f(a)/=f(a)=> xU(a) f(a)/2 c = f(a)/2; 2) f(a) /f(a)/=-f(a)=> xU(a) f(a)/2>f(x) => c = - f(a)/2 >0 => f(x)
#10{Св-ва непрерывных ф-ций на промежутках} {Т Больцано-Каши} Пусть ф-ция f(x) определена и непрерывеа на отр [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует (.) с принадлежащая интервалу (a,b) в которой f(c)=0 {T2} Пусть ф-ция f(x) определенна и непрерывна на промежутке X([c,d],[c,d),(c,d],(c,d)) и принимает в т. a,b X , af(b)=B, тогда для любого числа С лежащего между А и В c(a,b) / f(с)=С {Док} Рассмотрим [a;b] вспомогат ф-цию (x)=f(x)-C Пусть для определённости A A(x) непрерывна на [a,b] и принимает на его концах разные знаки (a)=f(a)-C=A-C(b)=f(b)-C=B-C>0 по теореме Больцана –Каши с(a,b) | (c)=0 f(c)-C=0 f(c)=C {Т}Ф-ция f(x) непрерывная на отр [a,b] ограничена на этом отрезке.{Т} Ф-ция f(x)-непрерывна на отр[a,b] в некоторых точках этого отрезка минимального и мах значения . [a,b] | f()=minf(x) x[a,b]; f()=maxf(x) x[a,b] f()) x [a,b]. {Равномерная непрерывность} Ф-ция y=f(x) определённая на мн-ве ХRn называется равномерно непрерывной на Х если для >0 =()>0 | x’,x’’X,(x’,x’’)|f(x’)-f(x’’)|; Прим f(x) –равномерно непрерывна на всей числовой прямой т.к. для >0 = | x’,x’’R, |x’-x’’|= {Т Картера} ф-ция непрерывная на огран замкн. мн-ве равномерно непрерывна на нём.
#11 {Т о непрерывн сложн ф-ии } Пусть ф-ия f(x) непрерывна в т. а, a ф-я g(y) непрер в т b =f(a) тогда сущ ф-ия=g(f(x)) в некоторой окр точки а которая непрерывна в точке а {Док-во}Возьмем >0 тогда из непрерывности ф-ии g(у) в т b следует что сущ число >0 так что у /у-b/ так что ф-ия g(y) определена и /g(y)-g(b)/ из непрерывности ф-ии g(x) в т а >0 (х) опред на (а-;а+) и х(а-;а+) => /f(x)-f(a)/. На интервале (а-;а+) опред сложная ф-ия g(f(x)) причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/ => по опред непрерывности => g(f(x)) непрерывна вт а чтд.
#12 {Непрерывность обратной ф-ции} Пусть у=f(x) – непрерывна при х [a,b] у[A,B] и пусть она строго возрастает, тогда ф-ция x=(y) также непрерывна {Д} Пусть y0[A,B] x0=(y0), f(x0)=y0 x0(a,b) ; возьмём >0 столь малое, что [x0-,x0+][a,b] Пусть y1=f(x0-) y2=f(x0+) Тогда в силу строго возрастания ф-ции f y(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+) тогда для у из [A,B] получаем [a,b] мы получили на нём >0 удовлетв этому условию мы не взяли существ окрестность в (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2) соответсвует (y)(x0-;x0+) Если это утверждение справедливо для мал то оно справедливо для + ф-ция - непрерывна в т. н0 по определению. {} Пусть у0=В х0=(y0)=b Возьмём ) тогда в силу строгого возрастания ф-ции f y(y,y0] x=(y) при отображении пойдёт в а (x0-,x0) ф-ция непрерывна в (.) у0 по определению. аналогично рассматривается случай с убыванием.
#13 {Непрерывность элементарных ф-ций} 1)f(x)=C –непрерывна на всей числовой прямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0; limh0f(x)=0; 2) f(x)=x; f(x)=x+h-x=h limh0h=0; 3)f(x)=xn, nN –непрерывна на всей числовой прямой, непрерывна как произведение непрерывных ф-ций по индукции xn=xn-1x; 4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывная на всей числовой прямой как сумма конечного числа непрерывных ф-ций; 5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывна на всей числовой прямой за исключением тех х, при которых значение знам. обращ в 0 как частное двух непрерывных ф-ций.;6) f(x)=sinx Лемма xR, |sinx|(OB,ox)=x; (OB’,ox)=x 0/2 т.к. длина отрезка соед две точки не превосходит длины дуги окружности соединяющей теже точки |BB’| 2Rsinx/2/2 Если |x|>/2 |sinx|/2f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|h0sinh/2=0 7.f(x)=cosx – непрерывна на всей числовой прямой |f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)0; 8)f(x)=ax –непр на всей числ пр,a>=0 f=(ax+h-ax)=ax(ah-1) limh0ax(ah-1)=0; 9)f(x)=logax a>0 a1 непрерывна на (0,+) 10)arcsinx, arccosx – на всей числ. пр.
#14 {Понятие числового ряда} пусть дана числовая последовательность {an} составленный из членов этой последовательности символ. а1+а2+а3…аn назыв беск числовым рядом а1а2-члены этого ряда для обознач исп сумма n 1-ых членов ряда назыв частичной суммой ряда если предел послед частичных сумм конечный то говорят что ряд сход в прот случае расход {Т необход условие сходимости} если ряд аn сход то lim(n)an=0 док-во если ряд an сх то lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1) тогда lim(n)an = lim(n)(Sn-S(n-1)) = lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0 т док. {Т Критерий Коши } Для сх-ти ряда (n=1,)an >0 n такое что при n>n и р Z p>=0 вып неравенство /аn+an+1+an+2+an+p/; {} (n=1..)1/n( в степ ) >1 сход 1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2 для =1/2 при n p=n-1 | вып-ся нер-во |an+…+an+p|> ряд расх. Пусть >1, =2-1>0 расходится частичная сумма ряда S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/(2k-1+1)+,,,+1/(2k)); 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n+1/2/(1-1/2) {S2k} –ограничена сверху т.к. n k |nk Sn2k ряд сход.
#15 {Св-ва сходящихся рядов} Если +n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть k=m+1+ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда (1,+)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма k=m+1+ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. limnaAn limS+Am+S limS+A’S=lims+Am+S-Am k=m+1+ak cx-cя; Пусть k=m+1+ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. lims+A’Slimn+A’n=m limn+A=limn+An-n+Am n=1+an ряд сх. {Следствие} Если ряд (1,+)an сх-ся и n=(k=n+1,+)ak limn+n=0 {Док} Пусть An=(1,n)ak, A=limn+An A=An+nn=A-A1 limn+n=A-limn+An=0 {Т} Если ряды (n=1,+)an и (n=1,+)bn сх-ся и -число, то (n=1,+)(an+bn) сх-ся и (n=1,+)an сх-ся {Д} Пусть Аn=(k=1,n)ak, Bn=k=1nbk; A=limn+An, B=limn+Bn; limn+(An+Bn)=A+B, limn+An=A Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда (n=1,+)(an+bn) и An=a1+…+an- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.
#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и no такое что при n>no аn расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход (к=no+1..)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => M>0 такое что Bnn An (k=no+1..)ak сх-ся =>(k=1..)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n) an/bn =k то; 1).0 из сход bn следует сходимость an; 2).0 из расх bn следует расходимость an {док-во} если 0 => =1 no такое что при n>no an/bn =k+1 => ann>no => из сх bn следует сходимость an => aк сходится 0 =к/2 (к) и =1 к=+ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k) an/bn>1; k=+ => при n>no аn>(k/2)bn (k) => из расход bn =>аn расх =>ак а>bn (k=+) Утв.
#17{Признак Даламбера не предельный(пр Тейлора)} an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/an ряд сход если q>=1 ряд расх {Док-во} аn= a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)n-1 q(n=1,+)qn-1 cх-ся как бесконечная => (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an >=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>ряд расход {Признак Дплмбера предельный} Пусть существует предел: limn+an+1/an=k; 1)k1 ряд расх. {Док-во} k>0 |k+ n0 | n>n0 an+1/an{=q} (k=n0+1,+)ak –сх-ся n=1+an сх-ся. Пусть k>1; k >0 | k->1 n0 | при n>n0 an+1/an>k->1 n=1+an расход { Радик Признак Коши} пусть дан ряд an>0 кор n-ой степ(аn)1 ряд расход {cледствие} пусть lim(кор n-ой степ(аn))=k; k1 – ряд расход
#18 {O} Знакопеременными рядами называют n=1+(-1)n-1an, an>0{Т Лейбница} пусть дан знакоперем ряд (-1)n-1 сn cn>0; 1)C(n+1))(Cn)=0 то ряд сход {Док-во} рассм частичные суммы ряда c чётными номерами S2k можно представить в виде: S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k)) Т.к. каждая из скобок положительна то данная частичная сумма образует возрастающую последовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2nlim(n)(S2n)=S Рассм теперь сумму с нечётными номерами S2k+1=S2k+C2k+1 т к limC2k+1 = 0 => lim(k)S2k+1=lim(k)S2k=S; Из вышесказанного следует lim(n)Sn=lim(n)S2k = lim(k)S2k+1=S {Док-ть самим}
{Оценка остатка ряда} При выполнении Т Лейбница знак остатка ряда совпад со знаком своего 1-го члена и не превосходит его по модулю
#19 Ряд n=1an –наз абс сход если сход ряд |an|. Если an – cх а |an| - расх то такой ряд наз усл сх. {Теорема о связи между сх абс и об} Если ряд абсолютно сходится то он и просто сходится {Док} Пусть ряд n=1+an -абс сх n=1+|аn| -сх-ся по критерию Коши >0 n| при n>n и pZ p>=0 вып-ся нер-во: |an+an+1+…+an+p|n+p| по критерию Коши n=1+an-сх-ся.{Св-ва абс сх рядов} {Т1} Если n=1+an –абс сход, то ряд полученный из него произвольной перестановкой членов также абс сх и имеет тужу сумму. {Т2} Если ряды n=1+an и n=1+bn абс сх то ряд сост из возм попарн произведений aibi взятых в произвольном порядке также абсолютно сход и сумма его = произведению сумм рядов an и bn {Признаки Даламбера и Каши для рядов с произвольными членами} При исследовании ряда n=1+an на абс сход к ряду из модулей его членов могут быть применены все признаки сходимости для знакоположительных рядов. {Т1}|an-1|/|an| ; limn+|an-1|/|an|=k; при kеn=1+Ґan- сход при kеn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх {Т2} Если для посл-ности еn|an|; k=limn+ n|an|; при kеn=1+Ґan-сх при k>1 ряд еn=1+Ґan- расх.
#20{Ряды с комплексными членами} {О} Посл-ность zn=xn+iyn, n=1,2… имеет своим пределом число z0=x0+y0 Если для >0 n | при n>n вып |zn-z0| ; Для того чтобы посл-ность zn=xn+iyn сход необходимо и достаточно чтобы последовательность хn сход х0 и посл. yn сход у0. {Док-во} Пусть z0=limnzn >0 n | при n>n =|zn-z0| Т.к. |zn-z0|=((xn-x0)+(yn-y0)) |zn-z0|>=|xn-x0| и |zn-zo|>= |yn-y0| при n>n вып. нер-во |xn-x0| ; |yn-y0| по опр. limnXn=x0 а limnyn=y0 {}Пусьт дана пос-ность компл. чисел {Zn}. Если существует предел последовательности его частичных сумм в этом случае этот предел называют суммой ряда. В проти вном сл ряд расх. {Т} Для того чтобы ряд zn=xn+iyn сходился и имел своей суммой число s=+i Необх. и достаточно чтобы сход ряды (n=1,+)xn и (n=1,+)уn и имели своими суммами числа и - соответственно Sn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)yk и если ряд (n=1,+)zn –сх то limn+zn=0 {Д} Пусть zn=xn+iyn т.к. (n=1,+)zn –сх (n=1,+)xn сх и (n=1,+)уn –сх limn+xn=limn+yn=0 limn+zn=limn+xn+ilimn+yn=0 чтд. {О} Ряд zn назыв абс сход если сход ряд мод zn если сход ряд zn а ряд |zn| расход то усл. сход. {Т} Абсолютно сходящийся ряд сходится.{Д} Пусть (n=1,+)zn –абс сход (n=1,+)|zn| -сх Т.к. |xn|(xn+yn)=|zn|, |yn| по признаку сравнения (n=1,+)|xn| -cх и (n=1,+)|yn| -сх (n=1,+)xn –сх и (n=1,+)уn-сх (n=1,+)zn –cх {Т} Для того чтобы ряд абс сходился (zn=xn+iyn) необходимо и достаточно, чтобы ряды xn и yn – абс сход {Д} Пусть (n=1,+)|xn| и (n=1,+)|уn| сх |zn=(xn+yn)(yn+2|xn||yn|+yn) (|xn|+|yn|)=|xn|+|yn| то по признаку сравнения (n=1,+)|zn| - cх-ся.
#21{Производная диф…} {O} Производной f(x) в т. х0- называется предел отношение приращения ф-ции к соответсвующему приращению аргумента, когда последние 0; f'(x0)=limx0(f(x0+x)-f(x0))/x {O} A=const Вырожение Ах –назыв. дифференциалом ф-ции f в т. х0 и обозначают dy или df(x); Приращение х обозначают dx и называют дефференциалом независимой переменной т.о. dy=Adx {Т} Если у ф-ции f(x) в (.) x0 существут производная то ф-ция непрерывна в (.) х0 {Док-во} Пусть y=f(x0+x)-f(x0) т.к. limx0y/x=f’(x0) y/x=f’(x0)+(x), где (x) 0 при х0 y=f’(x0)x+(x), где (х)0 при х0 y=f’(x0)x+(x)x limx0y=0 в f(x)-непрерывно в т.х0 {O}y=f(x)-определённая в U(x0) в т.х0 называется дифференцируемой при х=х0 исли её приращение у=f(x0+x)-f(x0), x0+xU(x0) можно представить в виде у=Ах+о(х), х0{Т} Для того, чтобы ф-ция y=f(x) была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы она в этой точке имела дифференциал. {Док-во} Пусть y=f(x) диффер-ма в х0 y =f(x0+x)-f(x0)= Ax+o(x), x0; limx0y/x= limx0(A+o(x)/x)=A; т.о. в т. х0 f’(x0)=limx0y/x=A {Обратно} Пусть ф-ция y=f(x) имеет в т. х0 f’(x0)=limx0y/xy/x=f’(x0)+(x), limx0(x)=0 y=f’(x0)x +(x)x y=f’(x0)x+o(x), x0 ф-ция f- дифференцируема в т. х0
№22 {Геометрический смысл произ} Пусть ф-ция y=f(x)- определена и непрерывна на (a;b) x0, x0+x(a,b), y0=f(x0), y0+y=f(x0+x) M0(x0,y0) M(x0+x,y0+y){картинка} проведём секущую MM0 её ур-ние имеет вид y=y0+k(x)(x-x0), k(x)=y/x; Всилу непрерывности y=f(x) в т.(х0) у0 при х0 |M0M|=(x+y)0 при х0 В этом случае говорят что MM0 {О} Если limx0k(x)=k0 то прямая уравнение которой y=y0+k(x)(x-x0) получается из ур-ния k(x)=y/x при х0 называется наклонной касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x, то k0=limx0k(x)= limx0y/x=f’(x0) уравнение касательной имеет вид y=y0+f’(x0)(x-x0) ; f’(x0)=tg; причём y=y0+k0(x-x0) –называется предельным положением; y=y0+k(x)(x-x0) касательная есть предельное положение секущей при M0M т.к. f’(x0)(x-x0)=dy то dy=y-y0 где у-текущая ордината касательной. Т.е. дифференциал ф-ции в (.) х0 есть приращение ординаты касательной.{Уравнение нормали.} Нормалью к графику ф-ции y=f(x) в (.) (х0,у0) называется прямая роходящая через эту точку перпендикулярно касат к графикуэтй ф-ции. Его можно написать, зная точку, через которую она проходит и угловой коэффициент k=-1/f’(x0) ; y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) x и y – точки на нормали
#23 Пусть ф-ции U(x) и V(x) –дифференцируемы в (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV; 2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv; 3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V
№24 {Производная от сложной ф-ии.} Dh: Пусть: z=f(y) - дифф. в точке y0 ; y=(x) дифф. в точке х0 . y0=(x0) тогда сложная ф-ия z=f((x))- дифф. в точке х0 и справедлива формула: z’x=z’yy’x=f’(y)’(x) ; dz/dx=dz/dy dy/dx {Док}Т.к. z=f(y) - дифф. в точке y0 z=f’(y0)y+(y); Т.к. y=(x)- дифф. в точке х0 y=’(x0)x+(x); z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y); Т.к y=(x) - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке (x0y0). (x)=f’(x0)(x)+(y); limx0/x; limx0(x)/x= limx0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]= limx0(y)/x= limx0(y)/y limx0y/x=’(x0); (f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x), где limx0(x)/x=0 (f((x)))’x=z’x=f’(y0)’(x0)
#25 {Производная от обратной ф-ии.} Пусть y=f(x) в точке х0 имеет: 1) f’(x)0, 2) на промежутке, содержащем х0, обратную ф-цию y=f-1(x)=(y) 3) y0=f(x0); тогда в (.) х0 существует f’()0, равная '(y0)=1/f’(x0). {Док-во} Пусть x=(y) и двум различным значениям х соответсвует е различных значений у. xx0yy0x0 y0 y/x=1/y/x ; Пусть y=f(x) дифф. в точке x0 тогда limx0y=0x0y0 f’(x0)=limx0y/x= limy01/y/x=1/limy0x/y=1/’(y0) ; f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0)
#26 {Логарифмическая производная} y=[u(x)]v(x),u(x)>0; lny=v(x)lnu(x); y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x); y’=uv(v’lnu+vu’/u); (lny)’=y’/y-логарифмическая производная ф-ции {Производные основных элементарных ф-ций} 1) y=Const y=c-c=0limx0y/x(C)’=0 ; 2) y=sinx y’=cosx 3)(cosx)’=-sinx 4) (ax)’=axlna 5)(arcsinx)’=1/1-x 6)(arccosx)’=-1/(1-x) 7) (arctgx)’=1/(1+x) 8) (arcctgx)’=-1/(1+x) 9) (lnx)’=1/x ; 10) (x)’=x-1
#27 {Производные и дифференциалы выс. порядков}{О} Пусть y=f(x); f(n)(x)=(f(n-1)(x))’ т.о. если говорят что у ф-ции y=f(x) в (.) существует производная n-ого порядка то это означает, что в некоторой окресности (.) х0 определено произведение n-1 –ого порядка, которая сама имеет производную в (.) х0 f(n-1)(x0) Эта последняя производная и наз. n-ого порядка от ф-ции f {}Дифференциал n-ого порядка} {О} dnf(x)=d(dn-1f(x)) При взятии дифференциала следует учитывать, что величина dx есть произвольное не зависящее от х число которое надо рассматривать как постоянный множитель при взятии производной dy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx; dny=f(n)(x)dxn ;f(n)=dny/dxn ) uv(n) = u(n)v + Cn1 u(n-1)v' +Cn2 u(n-2)v'' + … +C1n u(n-k)v(k) + uv(n) =k=0nCkn u(n-k)v(k),(формула Лейбница), Где Cnk =n!/k!(n-k)! , 0! = 1, v(0) = v. (u + v)(n) = k=0nCkn u(n-k)v(k) - бином Ньютона. формула Лейбница доказывается по индукции.
#28 {Параметрическое дифференцирование} Пусть x=x(t), y=y(t) определены в окрестности t0 t=t(x) x0=x(t0) Определена сложная ф-ция Ф(х)=у(t(x)) которая называется параметрически заданным уравнением. Предположим что x(t) и g(t) имеют производные в т. х0 тогда ф-ции Ф(х)=у(t(x)) также имеют производную в (.) х0 и она равна Ф’(x)=y’t(t0)/x’t(t0) Действительно по правилу дифференцирования сложной ф-ции Ф’(x0)=y’t(t0)t’x(x0); t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0) x’(t0)0 Если ф-ция x(t) и g(t) имеет производную x’’(t0) y’’(t0) то Ф’’(x0) равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’ x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0t’x|x=x0=y’’tt(t0)x’t(t0)-y’t(t0)xtt’’(t0)/(x’t(t0))
#29 Теорема (Ферма). Если функция f(x) имеет производную в точке с и достигает в этой точке наибольшее(наим) значение, то f’(с)=0. Доказательство. Для определенности будем считать, что f(x) имеет в точке с локальный максимум. По определению производной имеем f’(c)=limx(f(c+x)-f(c))/x ;Так как у нас f(c)>=f (x) xU(с), то для достаточно малых x> 0 ;(f(c+x)-f(c))/x откуда в пределе при x0 получим, что f’(с)xx)-f(c))/x>=0 поэтому, переходя к пределу при x0 в этом неравенстве, получаем, что f’(с)>=0.Из соотношений вытекает, что f'(c)=0.
#30 Теорема (Ролля). Если функция y=f(x) непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и f (а) ==f(b), то существует точка c0(а,b), такая, что f'(c)=0. Доказательство. Если f постоянна на [а, b], то для всех c(a, b) производная f'(c)=0.
Будем теперь считать, что f непостоянна на [а, b]. Так как f непрерывна на [а, b], то существует точка x1 [а, b], в которой f достигает максимума на [а, b] и существует точка х2[а, b], в которой f достигает минимума на [а, b]. Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка [а,b], потому что иначе maxf(x)=minf(x)=f(a) =f(b) и f была бы постоянной на [а, b]. Следовательно, одна из точек x1,х2 принадлежит к интервалу (а, b). Обозначим ее через c. В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, f'(c) существует, потому что по условию f'(x) существует для всех х(а, b). Поэтому по теореме Ферма f’(c)=0.{} Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции y=f(x) существует точка (c,f(c)) касательная в которой параллельна оси х.
#31 Теорема(Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную на интервале (а,b). Тогда существует на интервале (а, b) точка с, для которой выполняется равенство (f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (а tg=k=(f(b)-f(a))/(b-a) существует т. с в которой касат. к графику параллельна стяг прям концов крив. Рассмотрим вспомогательную функ-цию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a) данная функ-ция удовлетворяет всем условиям теор Ролля, т.к. она непрерыва на [a,b] в силу непрерывнотси f(x) и (x-a) и имеет на интервале(a,b) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b) и F(a)=0=F(b) по теореме Ролля с(a,b) | F’(c)=0 f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если записать ее в виде (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c) (acb) Левая часть этого равенства есть тангенс угла наклона к оси х хорды, стягивающей точки (a, f(a)) и (b,f(b)) графика функции y=f(x), а правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой промежуточной точке с абсциссой с(а, b). Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на [а, b] функции, имеющей производную на (a, b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (а < с < b) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (а, f(а)) и (b, f(b))
#32Теорема(Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (а, b), и g'(x)0 в (а, b), то существует точка c(a, b) такая, что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
Доказательство. Отметим, что g(b)-g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка g такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а, b], дифференцируема на (а, b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка c(a, b), в которой F'(c)=0 Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверждение теоремы.
#33(Правило Лапиталя) 1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limxa+0f(x)=limxa+0g(x)=0; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k {Док-во} доопределим ф-ции f(x) и g(x) при x=a наложив f(0)=g(0)=0 ; Тогда мы получим непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции (т.к. в т.a знак а f и g совпадают со значениями пределов, а в остальных точках непрерывность вытекает из существования производных) По теореме Коши. f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c); где a0 ( т.к. если g(x)=0=g(0) (a,x) g’()=0-это не возможно по условию. Если xa ca limxa+0f(x)/g(x)= limxa+0f’(x)/g’(x)=k {}{T2}Пусть 1)f,g опр и непр на положит [c;+) c>0 ; 2) limx+f(x)=limxa+g(x)=0; 3)Сущ(кон) произв f’(x) and g’(x) на [c,+) g’(x)0 ;4) limxa+f’(x)/g’(x)=k Тогда limxa+f(x)/g(x)=k {д} Замена t=1/x, если x+t0 по условию 2) limt0f(1/x)= limt0g(1/x)=0 ;По усл 4) limt0f’(1/t)/g’(1/t)=k по т1 limxa+f(x)/g(x)= limxa+f’(x)/g’(x)=k {}{T3}1)Ф-ции f(x) и g(x) опред на полуинтервале (a,b] ;2) limxa+0f(x)=+; limxa+0g(x)=+; 3) Существуют произв (конечн) f’(x) and g’(x) на (a,b] y’0 ; 4) Сущесвует (конечн или нет) limxa+0f’(x)/g’(x)=k тогда limxa+0f(x)/g(x)=k
#34 Ф-ла Тейлора {Т} Путь ф-ция y=f(x) опред и непр на (a,b) и имеет в т.х(a,b) производные до порядка n включительно f’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формула Тейлора с остаточным членом Пеано. f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+ f’(x0)(x-x0)/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа. Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-ла Тейлора в степени n, а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточный член ф-лы Тейлора; При х=0 ф-ла Маклорена. {Д} Найдём многочлен Pn(x)=A0+A,(x-x0)n ;Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируя данный многочлен получим Pn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0); Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1 ; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2 ;Pn(n)=n(n-1)(n-2)…An; P(x0)=A0=f(x0); Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!; Pn(x0)=f(x0), Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) ; rn(x)=f(x)-Pn(x) Т.к. деференцир rn(n-1)(x) диф-фма в () x0 то limxx0rn(n-1)(x)/(x-x0)= limxx0 (rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая по правилу Лапиталя получим limxx0rn(x)/(x-x0)n= limxx0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…= limxx0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0 rn(x)=o((x-x0)n),xx0
#35Разложение основных элементарных ф-ций по формуле Маклорена. 1)f(x)=ex, f(0)=1, f(k)(x)=ex, f(k)(0)=1, ex=1+x+x/2!+…+xn/n!+o(xn), x0; 2)f(x)=sinx, f(0)=0, f’(x)=cosx, f’’(x)=-sinx, f’’’(x)=-cosx, f(IV)(x)=sinx,…; f(k)(x)={(-1)msinx, k=2m {(-1)m-1cosx, k=2m-1 m=1,2,…; f(2m-1)(0)=(-1)m-1 полагая n=2m получим sinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x0; cosx=1-x/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x0; 4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0, f’(x)=1/(1+x), f’’(x)=-1/(1+x), f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k ;f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)! Подставим в формулу Тейлора l(1+x)=x-x/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x0 ; 5)f(x)=(1+x) f(0)=1, f’(x)=(1+x)-1, f’’(x)=(-1)(1+x)-2; f(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)-k ;f(k)(0)=(-1)…(-k+1); (1+x)=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xn/n!+o(xn), x0
#36 Признак монотонности ф-ции. {Т} Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)0 (f’(x)(a,b), x>0, тогда f(x0+x)-f(x0)>=0; x0; (y y/x>=0 (y/x f’(x0)=limx0y/x>=0 (f’(x0) x(a,b) f’(x)>=0 (f’(x)0, f’(c)>=0 (f’(c) f(x2)-f(x1)>=0 (f(x2)-f(x1) f(x2)>=f(x1) (f(x2) ф-ция возрастает (убывает) Если f’(x)>0 x(a,b) (f’(x)(a,b))f’(c)>0 (f’(c)f(x2)-f(x1)>0 (f(x2)-f(x1)
#37{Т}Пусть () x0 –является точкой экстремума ф-ции f(x), тогда производная в этой точке =0 либо не существует. {Док} Т.к. (.) x0 –экстремум U(x0,) | xU(x0,) f(x)>=f(x0) или f(x)) по теорме Ферма произв если она сущ то =0 {Т} Достаточное условие экстремума: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой окресности (.) x0 за исключением быть может самой точки х0 в которой она непрерывна. Тогда если при переходе через точку х0 производная ф-ции меняет знак (т.е. >=0 | x(x0,x0+] f’(x)0), а x(x0-,x0] f’(x)0) то х0 является экстремумом при этом для x(,x0+); f’(x)>0,a для x(x0-,x0) f’(x)(x0-,x0) f’(x)(x0,x0+) f’(x)>0 то xo-мин. {До} Пусть для x(x0-,x0) f’(x)>0 для x(x0,x0+) f”(x)f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0) между х0 и х Если х>x0 x-x0>0 x0)f x-x0)>0f>0 f(x)
#38 Пусть y=f(x) определена и непрерывна на промежутке Х ф-ции называется выпуклой (вогнутой) если x1,x2 X выполняется нер-во f(q1x1+q2x2)=q1f(x1)+q2f(x2)), где q1>0,q2>0, q1+q2=1 Геом интопрет: x=q1x1+q2x2 (x10,q2>0, q1+q2=1 тогда т.х лежит между точками х1 и х2{Док-во} (x-x1=q1x1+q2x2-x2=x1(q1-1)+q2x2=-x1q2+q2x2=q2(x2-x1)>0x>x1x2-x=x2-q1x1-q2x2=x(1-q2)-q1x1=x2q1-q1x1=q2(x2-x1)>0x1х q1x1+q2x2 q1=(x2-x)/(x2-x1); q1=(x-x1)/(x2-x1) выполнено неравенство (f(x)-f(x1))/(x-x1)=)(f(x2)-f(x))/x2-x1) (1) {Т1} Пусть ф f(x) опред. и непрерыв. на пром. Х и имеет на этом пром. кон . произв. Для того чтобы выпукла(вогнута) f’(x)- возратала(убывала) на Х {Док-во} Пусть ф-ция выпукла на Х и х1х1 или хх2 получим f’(x1)x1 (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)x1 f’(x) производная возрастает {Обр} Пусть произв. возрост. то по теор Лагранжа (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=f’() Причём т.к. (f’(1)2) выполнено нер-во 1 ф-ция выпукла. {Т} Пусть ф-ция y=f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной на промежутке (Х) и имеет на этом промежутке конечную вторую производную, для того чтобы ф-ция была выпуклой ( вогнутой) на X необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке выполнялось нер-во f’’(x)>=0 (f’’(x) f’ – возрастает(убывает) f’’=0) {(.) перегиба} Пусть y=f(x) –дифференцируема в (.) x0 и y=e(x)-ур-ние касательной к графику ф-ции у=f(x) в (.) х0. Если при переходе через (.) х0 выражение f(x)-e(x)- меняет свой знак то (.) х0 называется точкой перегиба. {T}Достаточное условие точки перегиба. Если х0 является точкой перегиба ф-ции f(x) и вэтой точке существует вторая производная, то она равна 0 {Д} Уравнение касательной к графику ф-ции y=f(x) в т. х0 имеет вид L(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0) Разложим ф-цию f(x) в окр. т. х0 по Тейлору с остаточным членом в форме Пеано: f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+(x)(x-x0), (x)0 при xx0 ; f(x)-L(x)=(f’’(x0)+2(x))(x-x0)/2! ; Если предположить что f’’(x)0 то т.к. (х)0 при хх0 в достаточно малой окр. т. х0 знак в правой чсти аоследнего равенства совпадает со знаком f’’(x) при переходе через т. х0 выражение f(x)-L(x) не меняет знак, значит т. х0 не является точкой перегиба, а это противоречит условию f’(x0)=0 {Т}Достаточное условие (.) перегиба: Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в (.) х0 и дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности U(x0,) Если при переходе через (.) х0 f’’ меняет знак, то это точка перегиба.{Док-во} Рассмотрим f(x)-L(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0)=(по теореме Лагранжа ; лежит между х и х0) =f’()(x-x0)-f’(x0)(x-x0)=(Т Лагранжа леж ме/ду и х0)=(x-x0)(f’()-f’(x0))=(x-x0)(-x0)f’’(); Т.к. т-ка лежит между х0 их то т-ки х и лежат по одну сторону от т. х0 (х-х0)(-х0)>0 поэьому знак f(x)-L(x) совпадает со знаком f’’(); Т.к. т. лежит между и х0 то т-ки х и лежат по одну сторону от т. х0 Если при переходе через т. х0 вторая производная меняет знак то и вырожение f(x)-L(x)- также меняет свой знак х0-т. перегиба.
#39 Асимптоты:Пусть кривая задана ур-нием y=f(x) где х>A=const и ф-ция f(x) – непрерывна при всех x>A. Пусь прямая L: задана ур-нием : y=ax+b. Если расстояние от точки А (x,f(x)) до прямой L стремиться к 0 при неограниченном возрастании х, то прямая называется асимптотой кривой гаммы соответсвующей х+ Аналогично при х-{}Найдём расстояние до пр L (x)=|f(x)-ax-b|/(1+a) Т.к. прямая L –является асимптотой то limx+(x)=0 limx+(f(x)-ax-b)=0 limx+(f(x)/x-a-b/x)=0 limx+(f(x)/x-a)=0 a= limx+f(x)/x ; b= limx+(f(x)-ax). Для отыскания асимтоты необходимо вычислить limx+f(x)/x если этот lim несущ то асимтоты соответсвующей к стремлению х+ нет. Если этот предел существует и = а то находим b тогда y=ax+b –является асимтотой. {}Пусть функ-ции y=f(x) определена возможно в односторонней окрестности т. х0 и если для этой ф-ции выполняется хотябы одно из равенств limxх0-0f(x)= limxх0+0f(x)= то прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой.
#40 {O} Ф-ция F(x) называется первообразной для ф-ции f(x) на промежутке Х если эта ф-ция Дифференцирунма на этом промежутке и во всех точках промежутка выполняется равенство F’(x)=f(x) {T} Для того чтобы две дифференцируемые ф-ци F(x) и (x) были первообразными для одной и той же ф-ции f(x) необходимо и достаточно чтобы они отличались на const {Док-во}Пусть F(x) – первообразная для f(x) тогда тогда F’(x)=f(x) (F(x)+c)’=F’(x)=f(x)F(x)+c-первообразная для f(x) Если F(x) и (x) – первообразные для f(x) то рассмотрим ф-цию (х)=F(x)-(x) для неё ’(x)=F’(x)-’(x)=f(x)-f(x)=0 Пусть х1,x2X по теореме Лагранжа (х2)-(х1)=’(c)(x2-x1)=0 т.е (x2)=(x1) (x)=c=const {T} Если F1(x) и F2(x)-две первообразные для f(x) на (a,b), то F1(x)-F2(x)=C на (a,b), где C- некоторая постоянная.
#41 {O}Пусть ф-ция f(x) определено на Х мн-во всех первообразных ф-ции f(x) на пром Х называется неопределённым интегралом и обозначается f(x)dx ; Если F(x)-первообразная для f(x) то f(x)dx=F(x)+C; {Cв-ва} 1)Если ф-ция F(x) дифференцируема на Х, то F’(x)dx=F’(x)+C; 2)Если ф-ция f(x) имеет первообразную на Х то для всех точек из этого промежутка d(f(x)dx)=f(x)dx; 3)Пусть f1 and f2 имеют на промежутке Х первообразную тогда ф-ция f1+f2 –также имеет на этом промежутке первообразную и выполнено равенство (f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx {д} пусть F1(x)-первообразная для f1(x), F2(x)-первообразная для f2(x), тогда F1(x)+f2(x)-непрерывна для f1(x)+f2(x), т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)= f1(x)+f2(x); 5)Если F(x) –первооб для f(x), то f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C {д} в самом деле [1/aF(ax+b)]’=1/aaF’(ax+b)=f(ax+b);
#42 Метод замены переменой в неоп: Пусть f(x) определена и непрерывна на соответствующем интервале и х=(t) –непрерывно дифференцируема ф-ция на некотором интервале изменения t, тогда f(x)dx=f((t))’(t)dt+C=f((t))d((t))+C-ф-ция интегрирования замены переменной. {Т по частям} Пусть ф-ция U(x),V(x) –дифференцируема на некотором промежутке Х и существует U(x)V’(x)dx тогда существует интеграл V(x)U’(x)dx=U(x)V(x)-U(x)V’(x)dx –ф-ла дифференцирования по частям. {Док-во} Т.к. ф-ция U(x) и V(x) дифференцируемы на промежутке Х то по правилу дифференцирования произведения получим (UV)’=U’V+UV’U’V=(UV)’-UV’; Т.к. существует итегралл UV’dx по условию Если (UV)’dx=UV+C то U’Vdx=(UV)’dx-UV’dx=UV-UV’dx+C производную постоянную к U’Vdx=UV-UV’dx; Пример exsinxdx=exsinx-excosxdx=|U’(x)=ex V’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-exsinxdx); exsinxdx=exsinx-excox-exsinxdx; 2exsinxdx=exsinx-excosx exsinxdx=(exsinx-excosx)/2
#43По основной теореме алгебры каждый многочлен степени n имеет n –корней с учётом кратности Pn(z)=A1(z-z1)k1…(z-zs)ks, k1+…+ks=n; Пусть а-корень кр-ти м многочлена Pn(z)Pn(z)=(z-a)mQn-m(z) a-корень кр-ти m многочлена Pn(z); Пусть многочлен Pn(x)- имеет действительный коофицент, тогда Pn(x)Pn(x) xR По доказанному: Если комплексное число а является многочленом Pn(x) то а является также корнем этого многочлена той же кратности. Т.к. (z-a)(z-a) является многочленом с действительным многочленом Pn(x)=(x-a1)1…(x-ar)r(x-z1)1…(x-zs)bs(x-zs)s=(x-a1)1…(x-ar)r(x+p1x+q1)1…(x+psx+qs)s; Pj/4-qjR, Pj,qjR {Лема} Пусть Px и Qx –многочлены с действительными коофицентами, причём степень degP(x)mQ1(x), Q1(a)0 то сущ действительное число А и многочлен с действительными числами P1(x) ,AR такие, что P(x)/Q(x)=A/(x-a)m+P1(x)/(x-a)m-1Q1(x) {}Пусть P(x) и Q(x) –многочлены с действительными коофициентами, причём degP(x)0-является корнем кратности m Q(x), т.е. имеет место равенство Q(x)=(x+px+q)mQ1(x), Q1(z1)0, p/4-qR и многочлен с действ. кооф. P1(x) такие что имеет место равенство P(x)/Q(x)=(Mx+N)/(x+px+q)m+P1(x)/(x2+px+q)m-1Q1(x); При любых действит M и N имеет место: P(x)/Q(x)=(Mx+N)/x+px+q)m+P(x)/Q(x)-(Mx+N)/(x+px+q)m=(Mx+N)/(x+px+q)m+(P(x)-(Mx+N)Q1(x))/(x+px+q)mQ1(x) {T}Пусть P(x) and Q(x) –многочлены с действ многочленами причём degP(x)(x-a1)1…(x-ar)r(x+p1x+q)(x+psx+qs)ps, a1,…,arR,p1q1..psqsR, Pj/4-qji(j), I=1,..,r; j=1,…,I Mi(j),Ni(j), I=1,…,s ; j=1,…,I; P(x)/Q(x)=A1(1)/(x-a1)1+..+A1(1)/(x-a1)+…+A2(1)/(x-a2)2+…+A2(2)/(x-a2)2+(M1(1)x+N1(1))/(x+p1x+q1)1+…+(M1(1)x+N1(1))/(x+p1x+q1)+…+(Ms(1)x+Ns(1))/(x+ps+qs)s+…+(Ms()x+Ns(s))/(x+psx+qs). ; {}Из этого следует что от правильной рациональной дроби сводиться к интегралу следующих простейших дробей 1.Adx/(x-a)=Aln|x-a|+C ; 2.Adx/(x-a)m=A(x-a)-mdx=A/(1-m)(x-a)m-1+C 3.(Mx+N)dx/(x+px+q)=(M/2)ln(x+px+q)+(N-MP/2)(1/a)arctg(x+P/2)/a+C 4.(Mx+N)dx/(x+px+q)m=M/2(1-m)(x+px+q)m-1+(N-MP/2)dt/(t+a)m
#44 Ф-цию вида R(x,m(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a) R(x,m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)=R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида R(x,ax+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t(a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ;Если а0 (ax+bx+c)>=0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{}
#45 Интегрирование выр R(cosx,sinx); Рационализация R(cosx,sinx)dx достигается подстановкой t=tg(x/2) (-), (универсальная); sinx=2tg(x/2)/(1+tg(x/2))=2t/(1+t), cosx=(1-tg(x/2))/(1+tg(x/2))=(1-t)/(1+t), x=2arctgt, dx=2dt/(1+t), R(cosx,sinx)dx=R(1-t)/(1+t),2t/(1+t))2dt/(1+t)= R1(t)dt{}Если функция R(x, у) обладает свойствами четности или нечетности по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.Пусть R(u,v)=P(u,v)/Q(u,v) (u=cosx, v=sinx).где P и Q—многочлены от u и v. 1) Если один из многочленов P Q четный по v, a другой—нечетный по и, то подстановка t=cosx рационализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, Q четный по и, а другой—нечетный по и, то подстановка t=sinx рационализирует интеграл. 3) Если Р и Q: а) оба не изменяются при замене и, v соответственно на —и, —v или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой t = tg x (или t=ctgx).
#46 {O}Разбиением [a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,i удовлетворяющее условию x0=a-1{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] называется отрезком разбиения {} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) i[xi-1,xi] I=1,..,i и рассмотрим сумму (f,1,…,i)=I=1if(I)x; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается abf(x)dx Если E >0 E=(E)>0 | при любом разбиении мелкости ||E и любом выборе (.) i[xi-1,xi], I=1,…,i | I=1if(i)x-I | ||0 {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последовательность точек {njo}>0 | limnf(njo)= Рассмотрим сумму =I=1if(I)xi=f(io)xjo +I=1if()xi=f(jo)xjo+B Зафиксируем произвольным образом i[xi-1,xi] ijo lim(f,1,…,0n,..,i)=lim(f(jo)xjo+B)= m>0 существует n0 | (f,1,…,jo(n),…,i)>m Отсюда , что интегральная сумма при мелкости разбеения ||0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что I=lim||0E>0 E>0 | , ||E и любой выбор точек i выполняется нер-во |-I|||=|-I+I|-I|+|I| в частности при при ||E можно выбрать точки 1,..,i такие, что ||>M ф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.
#47{O}Для ф-ции y=f(x) определённой в (.) а положим по определению аa f(x)dx=0, а для ф-ции y=f(x) интегрируемой на отр.[a,b] положим по опред baf(x)dx=-abf(x)dx {Св-во1} abdx=b-a действительно ф-ция f(x)1 на [a,b] по этому при любом разбиении и любом выборе (.) i f(i)=1=i=1if(i)xi=i=1ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-a lim||0=b-a {Св-во2} Пусть f,g интегрируемы на отр [a,b] , тогда ф-ция f+g также интегрируема на отр[а,b] и имет место равенство: ab(f(x)+g(x))dx= abf(x)dx+ abg(x)dx {док} Пусть ={xi} i=i i=o i[xi-1,xi] ,тогда E(f+g)=i=1i(f(i)+g(i)xi=ii=1f(i)xi+ii=1g(i)xi=(f)+(g) Т.к. f и g - интегриремы на [a,b] то lim||0(f)=abf(x)dx; lim||0(g)=abg(x)dx ; lim||0(f+g)=abf(x)dx+abg(x)dx т.о. ф-ция f+g -интегрируема на отр[a,b] и имеет место равенство ab(f(x)+g(x))dx=lim||0(f+g)=abf(x)dx+abg(x)dx {Св-во №3}Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b] тогда для любого действительного числа ф-ция f(x) - интегрируема на отр [a,b] и имеет место равенство aтbf(x)dx=aтbf(x)dx {Св-во 4} Пусть aaтbf(x)dx=aтсf(x)dx+стbf(x)dx {Св-во№5} Если y=f(x) интегрируема на отр [a,b] то она интегрируема на любом отр [c,d] [a.b] лежащем в этом отрезке. {Св-во№6} Если ф-ции f и g интегрируемы на [a,b] то ф-ция f-g также интегрируема на [a,b] {Св-во №7} Пусоть f(x) - итегр-ма на [a,b] и на этом отр inf|f(x)|>0 ( M>0 | x[a,b] |f(x)|>M) Тогда 1/f(x) - также интегрируема на [a,b] {Св-во} Пусьт f(x) -интегр-ма на [a,b] и х[a,b] f(x)0 тогда aтbf(x)dx0
#48 {T о среднем} Пусть 1) f и g интегрируема на [a,b]; 2) mх[a,b]; 3) На отр.[a,b] ф-ция g(x) Сохраняет знак. т.е. она либо не положительна, либо не отрицательна тогда сущ | mM и aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx {Док-во} Т.к. на отр[a,b] mf(x)M то умножив это нер-во на g(x) получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x) при g(x)0; Т.к. f и g интегрируемы на [a,b] то интегрируя нер-во получим maтbg(x)dxaтbf(x)g(x)dxMaтbg(x)dx при g(x)0; maтbg(x)dxaтbf(x)g(x)dxMaтbg(x)dx при g(x)0; Если aтbg(x)dx=0 то из полученного нер-ва находим : aтbf(x)g(x)dx=0 рав-во aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx выполнено при любом ; Пусть aтbg(x)dx0 при g(x)0 aтbg(x)dx>0, а при g(x)0 aтbg(x)dxaтbg(x)dx в обоих случаях получим : maтbf(x)g(x)dx/aтbg(x)dxM; Пологая =aтbf(x)g(x)dx/aтbg(x)dx получаем утверждение теоремы aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx {Следствие} При дополнительном предположении что ф-ция y=f(x) непрывна на отр[a,b] существует [a,b] такое, что aтbf(x)g(x)dx=f()aтbg(x)dx
#49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]тогда она интегрируема на отр[a,x] при axb по св-ву опред F(x)= aтxf(t)dt, x[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть x[a,b] x+x[a,b] Рассмотрим приращение: F=F(x+x)-F(x)= aтx+xf(t)dt-aтxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] C>0. |f(x)|С x[a,b]|F|=|xтx+xf(t)dt|С| xтx+xdt|=С|x| limx0F=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 [a,b] F(x)= aтxf(t)dt дифференцируема в (.) х0[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+x[a,b] F=F(x0+x)-F(x0)= aтx+xf(t)dt- aтx0f(t)dt= aтx0f(t)dt+ x0тx+xf(t)dt- aтx0f(t)dt= xтx0+xf(t)dt |F/t-f(x0)|=|1/x|, x0тx0+xf(t)dt-f(x0)/x=|1/x x0тx0+x (F(t)-f(x0))dt|1/|x|| x0тx0+xf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 >0 |при|x-x0|E|f(x)f(x0)|x|Et из промежутка от х0 до х0+х выполняется нер-во |t-x0||x|+ |F(t)-f(x)|F/x-F(f0)|1/x | x0тx0+x(f(t)-f(x0))dtx|E xтx0+xdt|=E limx0F/x=f(x0)F’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.
№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aтbf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. (1) {Док-во} F(x)= aтxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] F(x)=Ф(х)+С; aтxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aтаf(t)dt=0 0=Ф(а)+С С=-Ф(а) aтxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.
#51{замена переменной} 1)f(x) непр на[a,b]; 2)x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b]; 3) ()=a ,()=b ;4)t[;] (t)[a,b]; Тогда aтbf(x)dx = aтbf((t))’(t)dt {Док-во} по условию теоремы на отр[,] определена сложная ф-ция f((t)); F(x)-первообр f(x) на [a,b] тогда определена F((t)), которая по теореме умножения сложной ф-ции является первообразной для f((t))’(t) на [,] По условию теоремы подъинтегральных ф-ций в равенстве aтbj(x)dx = aтbj((t))’(t)dt непрерывны на рассматриваемых отрезках оба интеграла существуют. По теор Ньютона-Лейбница : aтbf(x)dx =F(b)-F(a); aтbf((t))’(t)dt =F(())-F(())=F(b)-F(a)= aтbf(x)dx Ч.Т.Д. {Т по частям} Пусть u(x) и v(x) непрерывны со своими производными на [a,b] тогда aтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aтbu(x)v’(x)dx {Док-во} Произведение u(x)v(x) имеет на [a,b] непрерывную производную (u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x) по этому по теореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab= aтb (u(x)v’(x)+u’(x)v(x))dx= aтbu(x)v’(x)dx+ aтbu’(x)v(x)dx откуда aтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|ba- aтbu(x)v’(x)dx
#52(Площадь плоской фигуры) Заключим фигуру Р в прямоугольник со сторонами параллельными осм Ох и Оу прямоуг обозн R; Разабьём прам R на мн-во мелких прямоуг.; Обозначим А фигуру полученную объединением прямоуг , целиком лежащих в плоскости R, а через В фигуру полученную объедин прямоугольников лежащих в Р. A-A B-B ; Пусть d- наибольшая диагональ прямоугольников разбиения, если при d0 A и B к одному и томуже пределу, то фигура Р-наз квадрируемой, а её площадь считается равной ; Пусть ф-ция f(x) –непрерывна на [a,b] и f(x)0 x[a;b] и ограничена снизу осью Ох а по бокам x=a, x=b. Пусть ={xi}i=0i=i-произвольное разбиение отр [a,b]; gi={(x,y), x[xi-1,xi], 0ymi=inff(x)} Gi={(x,y), x[xi-1,xi], 0yMi=supf(x)}; Sg=i=1imixi; SG=i=1iMixi {T} Для того, чтобы ф-ция f(x) огр на [a,b] была интегрируема на этом отр. необходимо и достаточно : lim||0(Sg-SG)=0 {Д} т.к. ф-ция f(x) –нерерывна на отр[a,b] то она интегрируема на этом отр. по критерию итегрируемости lim||0SG= lim||0Sg=S= aтbf(x)dx {сектор} Сектор ограничен кривой r=f(), где f() – непрерывна на [,] и f()0 [,] {} Пусь -произвольное разбиение gi={(,r), [i-1,i], 0rmi=inff()} Gi={(,r), [i-1,i], 0rMi=supf()} Т.к. ф-ция f(x)-непрерывна на отр[,] то она интегрируема на этом отрезке Площадь сектора gi=mi/2 и Gi=Mi/2; Sg=1/2i=1imi SG=1/2i=1iMi по критерии итегрируемости lim||0SG= lim||0Sg=S=1/2 тf()d P-квадрируема и Sp=1/2 тf()d.
#53 Пусть y=f(x) определна на [a,+) и интегрмруем на [a;b] несобственный интеграл по промежутку [a,+) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a+f(x)dx=limb+ abf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a+f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с[a,+) abf(x)dx= acf(x)dx+ cbf(x)dx {Т} По св-ву пределов a+f(x)dx cущ когда сущ limb+ abf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’b’’f(x)dx теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел abf(x)dx= lima+0 abf(x)dx. Если указанный предел конечен то называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} aсf(x)dx и сbf(x)dx при aabf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a при хb-0, если b {Св1} abf(x)dx= limb-0 F()-F(a)=F(x)|ba abf(x)dx limb-0 F() {Д} Пусть aabf(x)dx=F()-F(a) по св-ву пределов abf(x)dx= limb-0 F()-F(A){2} aтbf1(x)dx и aтbf2(x)dx -сходятся, то aтb (f1(x)+ aтbf2(x))dx= aтbf1(x)dx+ aтbf2(x)dx {До} Пусть aa (f1(x+f2(x))dx= a f1(x)dx+a f2(x)dx т.к. по усл. теор limb-0a f1(x)dx и limb-0a f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)[a,b] b aтbf(x)dx, aтbg(x)dx – сход , то aтbf(x)dx aтbg(x)dx {Д} a af(x)dx ag(x)dx переходя в данном нер-ве к limb-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) aтbu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aтbu’(x)v(x)dx {Д} Пусть aau(x)v’(x)dx = y(x)v(x)|a - au’(x)v(x)dx по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=(t) непрерывна вместе со своей производной на [,) и возрастает на этом промежутке, причём для a(t)tb-0(t) тогда имеет место : aтbf(x)dx= тf((t))’(t)dt {Д} Пусть [,) т.к. ф-ция непр на [,) то она отрораж. отр [,] на [a,()] по теореме о замене переменной в опред получ утв.
#54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -+ {T1} Пусть f(x)0 x[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,]. Для того чтобы интеграл abf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы af(x)dx, a M>0 | af(x)dxb-0, тогда если abg(x)dx- сходится, сходится и abf(x)dx Если abg(x)dx – расход abf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), xb-0 то существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. abg(x)dx –сход abf(x)dx – сх по Т1,(0,b) 0g(x)dxM(M=const) x(0,b) h0тhf(x)dxC h0тhg(x)dxCM все интегралы h0тhf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0тbf(x)dx-схaтbf(x)dx –сх; Аналогично если aтbf(x)dx-расход aтbg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)0 существует возможно бесконечный предел limxb-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0k из сходимости aтbg(x)dx сх-тьaтbf(x)dx; 2) при 0+ из расходимости aтbg(x)dx расх-тьaтbf(x)dx; В часности при 0k aтbg(x)dx и aтbf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0k По определению предела для E=1 (0,b) | x(0,b) |f(x)/g(x)-k| k-1 т.к. g(x)0 f(x)g(x) f(x)=o(g(x)), xb-0 по Т2 если aтbg(x)dx –сх, то aтbf(x)dx-сх. 2) Пусть 0+ тогда по опред предела для E={1 при k=+ {k/2 при k (0,b) | x(0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+ |f(x)/g(x)-k| при к=+ g(x) f(x)/g(x)>k/2 g(x)b-0 по Т2 если aтbg(x)dx –расход aтbf(x)dx –расх.
#55aтbf(x)dx-называется абс. сход если сходится aтb |f(x)|dx Если aтbf(x)dx-сх , а aтb |f(x)| dx – расх то aтbf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aтb |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' b" < b, то E> b’тb’’ |f(x)| dx| b’тb’’ f(x)dx т. е. для интеграла aтbf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aтb’f(x)dx| aтb’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'b для абсолютно сходящегося интеграла aтb f(x)dx получим |aтb f(x)dx| aтb |f(x)| dx {Глав зн не соб }Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -т+f(x)dx называется v.p. т+f(x)dx=lim+ -т+f(x)dx; Главное знач совпадает со значением т+ по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. наз v.p. aтbf(x)dx=limE0 (aтC-Ef(x)dx +C+Eтbf(x)dx)
#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+) Тогда (n=1,+)f(n) и 1+f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+) то она интегрируема на люблм отрезке [1,][1,+) т.к. ф-ция не возрастает на [1,+) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k kk+1f(x)dx>=kk+1f(k+1)dx f(k)>= kk+1f(x)dx>=f(k+1) (k=1,n)f(k){=Sn}>=(k=1,n){= 1n+1f(x)dx} kk+1f(x)dx>=(k=1,n)f(k+1)4. Бесконечно функции f(х), имеющей конечный предел при х® а. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
6. Связь функции с ее пределом. Арифметические операции над пределами функций. Предельный переход в неравенствах.
7. Теорема о пределе сложной функции.
8. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Сравнение бесконечно малых функций.
9. Непрерывность функций в точкеке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции их классификация. Теорема о сохранении -знака непрерырывной функции.
10. Свойства непрерывных функций на промежутках. Равномерная непрерывность.
11. Теорема о непрерывности сложной функции.
12. Теорема о непрерывности обратной функции.
13. Непрерывность элементарных функций.
14. Понятие числового ряда. частичные суммы, определение сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Исследование на сходимость ряда
15. Свойства сходящихся рядов.
16. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
17. Признаки Даламбера и Коши.
18. Знакопеременные числовые ряды Теорема Лейбница для знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда.
19. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между сходимостью рядов и Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
20. Ряды с комплексными членами.
21. Производная и дифференциал функции. Необходимое условие существования производной. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
22. Геометрический смысл производной и дифференциала. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
23. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
24. Производная сложной функции.
25. Производная обратной функции.
26. Логарифмическая производная. Производные основных элементарных функций.
27. Производые и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
28. Параметрическое дифференцирование.
29. Теорема Ферма. Геометрическая ннтерпритадия.
30. Теорема Ролля. Геометрическая интерпрнтация.
31. Теорема Лагранжа. Геометрическая интерпретация.
32. Теорема Коши.
33. Правило Лопиталя.
34. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.
35. Разложение основных элементарных функции по формуле Маклорена.
36. Признак монотонности функции.
37. Необходимое условие экстремума функции. Достагочное условие экстремума функции.
38. Выпуклость и точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразная и ее свойства.
41. Неопределенный интеграл и его свойства.
42. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
43. Основные свойства из алгебры многочленов. Интегрирование рациональных дробей.
44. Интегрирование иррациональностей.
45. Интегрирование тригонометрических выражений.
46. Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции
47. Свойства определенного интеграла,
48. Теорема о среднем.
49. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.
50. Формула Ньютона - Лейбница
51. Формулы замены переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
52. Площадь плоской фигуры. 53.Несобственные интефалы. Основные определения и свойства.
54. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак сравнения и предельный признак сравнения.
55. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение несобственного интеграла.
56. Интегральный признак сходимости ряда.
