График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Приведем свойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C —  постоянная функция.

3. Если существует и C — постоянная функция, то

.

4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого поло­жительного числа  найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x – a <  будет следовать B –f(x)  < .

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого поло­жительного числа  найдется положительное число  такое, что из условия 0 < b – x <  будет следовать C – f(x) < .

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

().

Функция непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f(x), определенную на полубесконечном промежутке (х0; ). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа  можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

f(x) – A < .

Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке
(–; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа  можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:

f(x) – A < .

Отметим два, так называемых, "замечательных предела".

1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST. Определим величину r относительного роста формулой

. (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100.

Из формулы (1) легко определить величину ST:

ST = S0(1 + r)

При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S1 = S0(1 + r), то есть S2 = S0(1 + r)2. Аналогично получается S3 = S0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов:

Sn = S0(1 + r)n.

В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка Tk составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле

(2)

Здесь — целая часть числа , которая совпадает с самим числом, если, например, T   целое число.

Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается до величины, определяемой формулой

(3)

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1. Применим эту процедуру к формуле (3):

.

Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S0 за 1 год наращивается до величины S1*, которая определяется из формулы

S1* = S0er. (4)

Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку, при которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из формулы (4). В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем

.

Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:

, .

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.

47

§3. Производная

Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина x, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах x её угол наклона  будет сколь угодно близок к углу  наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение y / x или, что то же самое (f(x + x)  f(x)) / x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента x. Эта функция не определена в точке x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + x) – f(x)) / x в точке x = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y или f(x):

.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f(x), то функция f(x) называется дифференцируемой напромежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f (x)  f / x, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше x. Производная f (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между f и x.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.

Так функция y = x  не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

Приведем теперь основные свойства производной.

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f (x) , и С   произвольное число, то функция имеет производную: (Cf(x)) = Cf (x).

3. Если существуют f (x) и g (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S (x) = f (x) + g (x).

4. Если существуют f (x) и g (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную: P (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x).

5. Если существуют f (x) и g (x) и при этом g(x)  0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D (x) = (f (x) g(x)  f(x) g (x)) / g2(x).

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

§4. Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y1 = f1(x) и y2 = f2(x), которые имеют производные f1 (x) и f2 (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение x. Тогда функции получат соответственно приращения y1 = f1(x + x)  f1(x) и y2 = f2(x + x)  f2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения y1 и y2 можно представить в виде сумм двух слагаемых:

y1 = (C1 - A1) + (B1 - C1); y2 = (C2 - A2) + (B2 - C2) (1)

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (1) легко вычисляются из сходных формул: C1 – A1 = tg1 x = f1 (x)x; C2 – A2 = tg2 x = f2 (x)x.

Величина f (x) x называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента x (можно сказать – пропор­циональна приращению x). Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (1) можно переписать в виде:

y1 = f1 x + r1; y2 = f2 x + r2. (2)

Здесь r1 = B1 – C1; r2= B2– C2.

Величины r1 и r2 в формулах (2) при уменьшении x в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r1 и r2 стремятся к нулю быстрее, чем x .

Пусть функции  (z) и  (z) являются бесконечно малыми в точке z = z0.. Функция  (z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция  (z), если .

Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента x, бесконечно малыми в точке x = 0. Можно показать, что. Это означает, что функции r1(x) и r2(x) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем x, в точке x = 0.

Таким образом приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

y = f(x) x + (x),

где  (x)   бесконечно малая функция более высокого порядка, чем x, в точке x = 0.

Главная, линейная относительно x, часть приращения функции y = f(x), равная f (x) x, называется дифференциалом и обозначается dy:

dy = f (x) x. (3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x = 1, формула (3) примет вид: dx = x. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

dy = f (x) dx.

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) 0, то

Пусть y = f(x)   функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

§5. Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f(x)). Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f(t), а ускорение равно f(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f(x).

Если определена n-я производная f (n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f (n + 1)(x) = (f(n)(x)).

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

54

§6. Формула Лагранжа

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой справедливо равенство:

f(b) - f(a) = f(c)(b - a). (1)

.

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a, b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t1 и t2 — любые числа из промежутка (a;b), причем t2>t1. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t1;t2), для которого справедливо равенство f(t2) – f(t1) = f(c)(t2 – t1). Если f(x) > 0 для всех x из промежутка (a;b), то f(c) > 0, и из условия t2 > t1 следует, что f(t2) – f(t1) > 0. Таким образом, возрастание функции f(x) на промежутке (a;b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

§7. Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f(x) > f(x0).

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f(x) < f(x0).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется – максимум или минимум. Для того, чтобы отве­тить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда:

1) если f(x) < 0 на (a;x0) и f(x) > 0 на (x0;b), то точка x0 – точка минимума функции f(x);

2) если f(x) > 0 на (a;x0) и f(x) < 0 на (x0;b), то точка x0 – точка максимума функции f(x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f(x) < 0 на (a;x0) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) убывает на (a;x0], и для любого x(a;x0) выполняется условие f(x)>f(x0).

Так как f(x) > 0 на (x0;b) и f(x) непрерывна в точке x0, то f(x) возрастает на (x0;b], и для любого x(x0;b) выполняется условие f(x)>f(x0).

В результате получается, что при любом xx0 из (a;b) выполняется нера­венство f(x)>f(x0), то есть точка x0 – точка минимума f(x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

§8. Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f(x0) = 0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x0 выполняются условия:

1) f(x0) = 0; f(x0) < 0, тогда x0 – точка максимума;

2) f(x0) = 0; f(x0) > 0, тогда x0 – точка минимума;

3) f(x0) = 0; f(x0) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0 = 0 у функции y = x4, но может его не быть, например в точке x0 = 0 у функции y = x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потре­битель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q –количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной оси

.

Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.

58

§9. Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x)  первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).

Доказательство.

(F + C) = F + C = f + 0 =  f

По определению F + C  первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g(x) = 0.

Доказательство.

Так как g(x) = C, справедливы равенства: g(x) = C = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем

g(x) – g(x1) = g()(x – x1)

Так как (x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G – F: (G – F) = G – F =
= f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C  число, то есть G = F + C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.

Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F(x) = f(x) соответствует формула f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

§10. Замена переменной в неопределенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула

 f((t))(t) dt =  f(x) dx, где x = (t).

Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.

Примеры. 1. I =  cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.

.

2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.

3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и

.

4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и

.

§11. Формула интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

(uv) = uv + vu

Отсюда следует

 (uv)dx =  (uv + vu )dx =  uv dx +  vu dx

или

 uv dx = uv –  uv dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

 u(x)dv(x) = u(x) v(x) –  v(x)du(x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I =  x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

I = x sinx –  sinx dx = x sinx + cosx + C.

2. I =  (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда
du = (2x – 3) dx; .

.

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:

.

3. ;

;

.

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь в виде суммы двух дробей: и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений

с решением . Отсюда следует:

.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.

65

§12. Определенный интеграл