Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yNeN = yN + 1/(n*n!)

Если через  обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN =/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + /(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mZ, nN

m/n = e = yN + /(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + /n, где (m*(n-1)! & yN*n!)Z, (/n)Z => противоречие

23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при хх0 если Е>0 >0: 00| & хDf => |f(x)-А|

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при хх0 если  последовательности хNх0, хNх0 f(xN)А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

Е>0 >0: 00| & хDf => |f(x)-А|

хNх0, хNх0, т.к. хNх0 =>  n0: n>n0 0N-x0|) => 0N-x0| => по определению Коши |f(xN)-А|

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К):  Е>0:  >0 x: 00| => |f(x)-A|E

Отрицание (Г):  хNх0, хNх0: |f(xN)-A|E

 хNх0, хNх0 =>  n0: n>n0 0N-x0|) => по отрицанию определения Коши |f(xN)-А|Е

Для ф-ции хf(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при хN следующим образом: limf(х) при хN = Limf(1/t) t+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN = Lim f(1/t) t0 и хN = lim f(1/t) t0

24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х0|h|) при h0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-,x0+)\{x0} принадлежит области определения ф-ции для некоторго >0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => Е>0   >0: -0 => |f(х)-А| такое, что как только х попадает в -окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0+) => x попадает в интервал (x0-,x0+) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x0-,0) => x попадает в интервал (x0-,x0+) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х0|h|) при h0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

Е>0  ’ >0: 00’ => |f(х)-А|

Е>0  ” >0: -”0 |f(х)-А|

Получили Е>0  0=min{’,”}: -  => |f(х)-А|

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при хх0 Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|0 => в определении можно снять ограничение хх0 => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если Е>0 >0: -  => |f(х)-f(а)|

Аналогично сняв ограничение хх0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если  посл-ти хNх0, f(xN)f(a)

Если при хх0 limf(х)f(х0), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х0. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 - точка бесконечного разрыва.

Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со значением f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что функция f(x) имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х0.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:ХR и g:ХR (ХR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда

1. Lim f(x) Lim g(x) = FG

2. Lim f(x)*Lim g(x) = F*G

3. Если G0 и g(x)0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G

Доказательство:

1) Е>0(в частности Е/2) ’>0: -’0’ => |f(х)-F|”>0: -”0” => |g(х)-G|

Получили Е>0 0=min{’,”}: -0 =>-Е/2 - Е/2 |(f(х)+g(х))-(F+G)|

2) Пусть посл-ть хNх0 (хNх0, xNX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n Lim f(xN)*g(xN)=Lim f(xN)*Lim g(xN)= F*G => по определению предела по Гейне при хх0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G

3) Пусть посл-ть хNх0 (хNх0, xNX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при n Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об арифметике пределов посл-тей получаем: при n Lim f(xN)/g(xN)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G => по определению предела по Гейне при хх0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G0 и g(x)0.

Порядковые свойства пределов:

Теорема: Если  хX: f(x)g(x), при хх0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то AB

Доказательство(от противного):

Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0’>0: |х-х0|’ => |f(x)-A|”>0: |х-х0|” => |g(х)-B|

Получили, что 0=min{’;”}: |х-х0| => |f(x)-A|В и что (А-Е,А+Е)(В-Е,В+Е)= получаем что для

х(х0-, х0+) f(x)>g(x) - противоречие с условием.

Теорема: Если  хX: f(x)g(x)h(x) и при хх0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А

Доказательство:

Е>0 ’>0: |х-х0|’ => A-E”>0: |х-х0|” => h(х)

Получили, что 0=min{’;”}: |х-х0| => A-E хX: f(x)g(x)h(x) => A-Eg(x)h(x) A-E

27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x0 (при хх0)

|Sin x-Sin x0|=2*|Sin((x-x0)/2)|*|Cos((x+x0)/2)| < 2*|(x-x0)/2|=|x-x0| => -|x-x0|00| при хх0 => -|x-x0|0 & |x-x0| => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x0)0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x0 (при хх0)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0

|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| => -|y-y0|00| при yy0 -|y-yo|0 & |y-yo|0 => (Sin y-Sin y0)0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]0 => (Cos x-Cos x0)0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х0), 0

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R2) откуда и получаем Sinx Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xLim (Sin x)/x при x0, 0Lim (Sin x)/x1 => Lim (Sin x)/x =1, 0

28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Определение: Пусть а,bR и а

1) Mножество хR: ахb (а

2) Mножество хR: ахb) - открытый справа (слева) промежуток

Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая х0=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0)=f(х0)-с=0 => f(х0)=с). Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а1)*g(b1) теорема доказана. Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот для которого g(а2)*g(b2)n-го промежутка [aN,bN] будем иметь: g(aN)N)>0, причем длина его равна bN-aN=(b-a)/2n0 при n. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о вложенных промежутках =>  точка x0 из промежутка [a,b], для которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x0-удовлетворяет требованию теоремы: g(aN)N)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)0, Lim g(bN)0, используем условие непрерывности: g(x0)0 g(x0)0 => g(x0)=0 => f(х0)-c=0 => f(х0)=c

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество У=f(Х)={f(х):хХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево дит промежуток в промежуток.)

Доказательство: Пусть у1,у2У; у1уу2, тогда существуют х1,х2Х: у1=f(х1), у2=f(х2). Применяя теорему к отрезку [х1,х2]Х (если х12) и к отрезку

[х2,х1]Х (если х21) получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению промежутка.

29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций

Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области опреде ления ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.

Теорема: Если Lim g(x)=b (при xa) и f - непрерывна в точке b, то Lim f(g(x))=f(b) (при xa)

Доказательство:

Пусть xN: xNa - произвольная посл-ть из области определения ф-ции хf(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN: yN=g(xN) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim f(yN)=f(b) (n) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне. Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n). Заметим что в посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b. Тем не менее в силу нашего замечания о снятии ограничения yNb в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)f(b)

Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f непрерывна в точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x)) непрерывна в точке х0.

30. Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у0 - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у0 из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х0Х, что f(х0)=у0. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х1> или 0, то соответственно и f(х1)> или 0). Сопоставля именно это значение х0 произвольно взятому у0 из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’ у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0) при уу0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно Е>0. Имеем уУ: |f`(у)-f`(у0)| х0-Е0+Е f(х0-Е)0+Е) f(х0-Е)-у000+Е)-у0 -’0”, где ’=у0-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, ”=f(х0+Е)-у0>f(х0)-у0=0,

полагая =min{’,”} имеем: как только |у-у0| => -’0” |f`(у)-f`(у0)|

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция хM/N - где mZ, nN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию хN, nN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х0

2) хN (nN) - тоже непрерывная функция

3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N - непрерывная при х0, т.о. получили что хMmZ - непрерывная ф-ция при х0. При х>0ф-ция хN nN строго монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида аX, а>0, а1 xQ.

Свойства: для mZ nN

1) (аM)1/N = (а1/N)M

(аM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M

2) (аM)1/N=b аM=bN

3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/N

(аM*K)1/N*K=b аM*K=bN*K аM=bN (аM)1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)M,a-M/N=1/aM/N, а0=1

Св-ва: x,yQ

1) aX * aY = aX+Y

aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/aK/N = b => aM/N = b * aK/N => aM = bN * aK => aM-K = bN => a(M-K)/N = b => aX+Y = b

2) aX/aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)M*K=bS => (aM*K)1/N=bS => aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => aX*Y=b

4) x aXY (a>1) - монотонность

z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aXY.

z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x0 aX1 (xR)

Т.к. Lim a1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n0: n>n0 1-E-1/N1/N1. Если теперь |x|0, то

a-1/NX1/N => 1-EX Lim aX=1 (при x0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида аX, а>0, а1 xR.

Свойства: x,yR.

1) aX * aY = aX+Y

xNx, yNy => aXn * aYn = aXn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn => Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => aX * aY = aX+Y

2) aX / aY = aX-Y

3) (aX)Y=aX*Y

xNx, yKy => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n) (aX)Yk=aX*Yk =>(k) (aX)Y=aX*Y

4) x aXY (a>1) - монотонность.

xR; xNx x’Nx’ xN,x’NQ => xNN => aXn < aX’n => (n) aXaX’- монотонна

x-x`>q>0 => aX-X’ aQ>1 => aX-X’1 => aXX’ - строго монотонна

5) при x n0 aX 1

Т.к. Lim a1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a-1/N=Lim1/a1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n0: n>n0 1-E-1/N1/N1. Если теперь |x|0, то

a-1/NX1/N => 1-EX Lim aX=1 (при x0)

6) aX - непрерывна

Lim aX=1 (n из (5) - это означает непрерывность aX в точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo - 1) при хx0 x-x0 n0 => aX-x0 n1 => при хx0 lim(aX - aXo)=

Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна

33.Предел функции (1+x)1/X при x0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)1/X = e при x0

У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n

Лемма: Пусть nK nKN Тогда (1+1/nK)Nke

Доказательство:

E>0 k0: n>n0 0n nK  k0: k>k0 => nK>n0 => 0k)Nk

Lim (1+xK)1/Xk при x0+:

1/xK=zK+yK, zKN => 0yK (1+1/zK+1)ZkK)1/Xk < (1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/zK+1)Zk+1)/(1+1/zK+1) => (1+1/zK+1)Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk < (1+1/zK)Zk*(1+1/zK) kучитывая, что: (1+1/zK)1 (1+1/zK+1)1 => получаем:

eLim (1+xK)1/Xke => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x0+

Lim (1+xK)1/Xk при x0-:

yK=-xK0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x0

2) n lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX

3) xx R - непрерывна

x=(eLn x)=e*Ln x

непр непр непр непр

xLn x*Ln*Ln x => xe*Ln x

4) x0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1

4’) x0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a

5) x0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x0 Lim (aX-1)/x = Ln a

6) x0 Lim ((1+x)-1)/x = Lim ([e*Ln (1+x) -1/[Ln(1+x)]Ln (1+x)]/x = 11=

34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.

Функция хf(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.

Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее значение (2 теорема Вейрштрасса).

Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):x[a,b]}. Если f не ограничена сверху на [a,b], то m=, иначе mR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть (сN), такую что Lim cN=m. Т.к. nN: cN xN[a,b]: cNN)m. xN - ограничена =>  xKn. Т.к. axКnb => [a,b].

Для mR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен пределу посл-ти получаем cKnm.

Для m=+ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб посл-тью получаем cKnm. Переходя к пределу в нер-вах cKnKn)m, получим

Lim f(xKn)=b n но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(xKn)=f() => f()=m - что и означает что функция f ограничена сверху и достигает верхней

граница в точке . Существование точки =Inf{f(x):x[a,b]} доказывается аналогично.

35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.

Определение: Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”| => |f(x’)-f(x”)| функция называется равномерно непрерывной

Отличие от непрерывности состоит в том, что там  зависит от Е и от х”, то здесь  не зависит от х”.

Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если Е>0  >0: х’,х”: |х’-х”| => |f(x’)-f(x”)|Е>0

Рассмотрим множество , IDf.

Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf() называется колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:

1/х - Wf() = +Sin x - Wf() = 1

Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому: Е>0 >0: Wf()Е Lim Wf()=0 0

36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.

Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство(от противного):

Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>Е>0 >0 х’,х”: |х’-х”|=>|f(x’)-f(x”)|Е. Возьмем  =1/к, кN хK, х’K[a,b]: |хK-х’K|K)-f(x’K)|E

Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем: |хKs-х’Ks|

хKs-1/kKsKs-1/k по Лемме о зажатой посл-ти х’Ksх0 kS |f(xKs)-f(x’Ks)|E кS0E - противоречие с условием.

37.Определение производной и дифференциала.

Касательная в точке x0 к функции xf(x): возьмем еще одну точку х соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное положение секущей при хx0, если это предельное положение существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0) => уравнение этой касательной (если она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x0)+f(x0). Необходимо только опр-ть наклон k касательной. Возьмем произвольное число х0 так, чтобы x0+хХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x0)), М(x0+х,f(x0+х)). Уравнение секущей имеет вид: у=к(х)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+х)-f(x0))/х - наклон секущей. Если существует Lim к(х) при х0, то в качестве искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(х)=при х0, то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(х))*(y-f(x0))+x0 перейдя к пределам при х0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0 х0 => x = Lim x0)

Определение: Производным значением функции f в точке х0 называется число f’(х0)=Lim (f(x0+х)-f(x0))/х xx0, если этот предел существует.

Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке (x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+х)-f(x0))/х= х0, то пишут f`(x0)= касательная в этом случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0)=lim(f(x0+х)-f(x0))/х xx0=>(f(x0+х)-f(x0))/х=f’(x0)+(x), (x)0 при xx0. f(x0+х)-f(x0)=f`(x0)*х+(x)*х учитывая, что x0+х=x и обозначая (x)*х через o(x-x0) получим f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0). Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0) при xx0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)0 при xx0)

Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 если сR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0)+f(x0)+o(x-x0)

Теорема: Функция диффференцируема в точке x0  f’(x0)

Доказательство:

0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C

=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-x0)=C+(x), (x)0 при xx0.

Переходим к пределу при xx0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по определению C=f`(x0)

Определение: Если функция хf(x) дифференцируема в точке x0, то линейная функция хf’(x0)*х называется дифференциалом функции f в точке x0 и

обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции хх обозначают dx). Т.о. df(x0):хf`(x0)*х и dх:хх. Отсюда df(x0)=f’(x0)*dх => df(x0)/dх: хf`(x0)*х/х=f’(x0) при х0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх - обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной переносом начала коор динат в точку касания.

Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.

Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x0)f(x0) при xx0 => f непрерывна в точке x0.

Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)= -Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0)*(x-x0)+f(x0)

38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.

Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда ф-ции f+g, f*g и f/g (при g(x0)0) дифференцируемы в точке x0 и:

1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)

3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Доказательство:

1) f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

g(x0)=g(x0+x)-g(x0)

(f+g)(x0)=f(x0)+g(x0)=f(x0+x)-f(x0)+g(x0+x)-g(x0)

(f+g)(x0)/x=(f(x0+x)-f(x0)+g(x0+x)-g(x0))/x=(f(x0+x)-f(x0))/x+(g(x0+x)-g(x0))/xf’(x0)+g’(x0) при x0

2)(f*g)(x0)=f(x0+x)*g(x0+x)-f(x0)*g(x0)=(f(x0)+f(x0))*(g(x0)+(x0))-f(x0)*g(x0)=g(x0)*f(x0)+f(x0)*g(x0)+f(x0)*g(x0) (f*g)(x0)/x=g(x0)*(f(x0)/x)+f(x0)*(g(x0)/x)+(f(x0)/x)*(g(x0)/x)*xf’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при x0

3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в точке x0 => Е>0 (Е=|g(x0)|/2) >0: |x|=> |g(x0+x)-g(x0)|0)|/2.

g(x0)-|g(x0)|/20+x)0)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|x|) видим что g(x0+x)0.

Рассмотрим разность (1/g(x0+x)-1/g(x0))/x = -(g(x0+x)-g(x0))/x*g(x0+x)*g(x0) -g’(x0)/g(x0)2 при x0

(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) = f’(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0)*1/g(x0)+f(x0)*(-g’(x0)/g(x0)2)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2

Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)

1) Sin’(x0) = Cos (x0)

2) Cos’(x0) = -Sin (x0)

Доказательство:

1)f/x=(Sin(x0+x)-Sin(x0))/x = Sin(x/2)/(x/2) * Cos(x0+x/2) Сos x0 при x0

2) g/x=(Cos(x0+x)-cos(x0))/x=Sin(x/2)/(x/2)*-Sin(x0+x/2) -Sin x0 при x0

Производные Tg и Ctg выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos по формулам дифференцирования.

39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и логарифмической функции.

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в точке y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)

Доказательство:

y=y-y0, x=x-x0, f(y0)=f’(y0)*y+o(y), g(xo)=g’(xo)*x+o(x), y=g(x0+x)

h(x0)=f(g(x0+x))-f(g(x0))=f(y)-f(y0)=f’(y0)*y+o(y)=f’(y0)*(g(x0+x)-g(x0))+o(g)==f’(y0)*(g’(x0)*x+o(x))+o(y)= f’(y0)*g’(x0)*x+f’(y0)*o(x)+o(y)

h(x0)/x=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(x)/x+o(y)/x

r=f`(y0)*o(x)/x+o(y)/x=f`(y0)*((x)*x)/x+(’(x)*y)/x=f’(y0)*(x)+’(x)*y/xf’(y0)*0 + 0*g’(y0) при x0 ((x)0 ’(x)0)

Производная:

1) x=*x-1

Lim (y/x)=lim((x+x)-x)/x = Lim x* ((1+x/x))/x/x. Используя замечательный предел x0 Lim ((1+x)-1)/x=, получим x0

Lim x*Lim((1+x/x))/x/x = x

2) (aX)’=aX*Ln a (xaX)’=(xeX*Ln a)’

xeX*Ln a - композиция функций xеX и xx*Ln a обе непрерывны на R => (xaX)’=(xе X*Ln a)’=(xеX*Ln a)’*(xx*Ln a)’=aX*Ln a

Д-во : (eX)’=eX

Lim(y/x)=Lim(eX+X-eX)/x=LimeX*(eX-1)/x, используя зам-ный предел при x0 Lim(eX-1)/x=1, получим при x0 Lim(y/x)=eX

3) (LogA(x))’=1/x*Ln a

Lim(y/x) = Lim (LogA(x+x) - LogA(x))/x = Lim 1/x*LogA(1+x/x)/x/x, используя замечательный предел при x0 Lim LogA(1+x)/x=1/Ln a, получим

Lim (y/x) = Lim 1/x*Lim LogA(1+x/x)/x/x=1/x*Ln a

40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает () в (а,b) тогда  обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (). Если f диф-ма в точке x0() и f’(x0)0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yNy0, yNy0 =>  посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN

g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO  1/f’(xo) при nполучили при xNxO g(yN)-g(yO)/yN-yO1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)

Производные:

1) xrcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’yrcsin: [-1,1][-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2][0,1], то Cos y0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2

2) xArccos’x = -1/(1-x2)1/2

3) xArctg’x = 1/1+x2

4) xArcctg’x= -1/1+x2

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f’(x):xf’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция xfN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO называют функцию dхfN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким образом dNf(x):dхfN(x)dxN.

Так как fN(x)dхN:dхfN(x)dxN, то dNf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN(x) обозначают также dNf(x)/dхN

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем fN+1(x)=u0*vN+1++ uN+1*v0=

44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].

Докозательство:

Пусть xb, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем: f(x)-f(a)=f’(a+(x-a))(x-a) 0т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b), то f’(a+(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все х(a;b).

Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в открытом промежутке (a;b), тогда:

1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) f’(x)0(f’(x)0) в (a;b).

2) Если f’(x)>0(f’(x)

Доказательство:

1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”(a;b), тогда по теореме Лагранжа (f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), с(x’,x”). По условию имеем f’(x)f’(x)в (a;b) => f’(c)f’(c)f(x”)f(x’)( f(x”)f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b).

2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие получим (2).

Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f. f’(x) в достаточно малой -окр-ти точки xO имеет разные знаки, то xO-экстремальная точка.

Достаточное условие экстремума: (+)xO(-) => локальный min, (-)xO(+) => локальный max

46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство Йенсена.

Определение: Множество М выпукло если  А,ВМ [А,В]М

[А,В]М => [А,В]={А+t(В-А):t[0,1]} => А(1-t)+tВМ

[А,В]М => А,ВМ; 1=1-t, 2=t => 1+2=1 1,20 => 1А+2ВМ

Рассмотрим точки: А1,А2,...АNМ 1,20 i=1,n):= 1

Докажем что i=1,n):*АI М

Д-во: По индукции:

1) n=1, n=2 - верно

2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:

а) =1 => приравниваем 1=...==0 => верно

б) *А1 +...+ *А +*А= (1-)((/1-)*А1+...+(/1-)*А) + *А = (1-)*B + *А

BМ - по индуктивному предположению АМ - по условию=>(1-)*B + *АМ Ч.т.д

График Гf = {(x,f(x)):хDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}

Определение: Функция f выпукла UPf - множество выпукло.

Условие Йенсена: АIМ 0 i=1,n):=1 => i=1,n):*АI М, xI0, f(xI)yI => i=1,n):*АI =xI;*yIf(xI)*yI

Неравенство Йенсена: АIМ 0 =1f(xI)*f(xI)

47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.

Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) x’,xO,x”(a;b) x’O

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)(f(x”)-f(xO))/(x”-xO). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей растет.

Доказательство:

“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)(f(xO)-f(x’))/(xO-x’) => yf(xO); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO)(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>yf(xO)

(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)

“