Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 1

1. Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка.

2. Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных оценок.

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Чему равны размах и медиана выборки: 0.666, 0.414, -0.011, -0.410, -1.077, -1.132?

6. Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что называется решением системы уравнений?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 2

1. Что называется полным дифференциалом функции?

2. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое распределение она имеет? Если n>20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная x=y или альтернативная ей?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Средняя прибыль палатки составляет 1тыс. рублей в день. Какова средняя прибыль 12-ти палаток?

6. В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 3

1. Дать определение двойного интеграла.

2. По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции rxy?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Имеются 2 независимые случайные величины  и . D()=2, D()=5. Чему равна дисперсия величины (+)/2?

6. Найти ранг матрицы и вычислить ее определитель.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 4

1. Что называется функцией двух переменных?

2. Как определяется математическое ожидание случайной величины? Какими свойствами обладает математическое ожидание случайной величины?

3. Найти полный дифференциал функции в точке (1, 1).

4. Найти общее решение .

5. По выборке объема n=41 найдена выборочная дисперсия S2 =3. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

6. Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 5

1. Что называется линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

2. Дать определение случайной величины хи-квадрат с n степенями свободы (χ2n).

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Случайная величина  – стандартная нормальная величина. Чему для нее равна вероятность попасть в интервал [-2; 2]?

6. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 6

1. Что называется градиентом функции?

2. По какой формуле считается l-ый начальный эмпирический момент? По какой формуле считается l-ый центральный эмпирический момент?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [-1,3]?

6. Убедиться, что система имеет единственное решение, и найти это решение методом Гаусса.
   , , .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 7

1. Какова структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?

2. Какое распределение имеет эмпирическая дисперсия S2, если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(a, )?

3. Найти область определения функции .

4. Найти решение задачи Коши

5. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы оказалась равной 1000ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы =40ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

6. Дать определение прямоугольной матрицы, транспонированной, симметричной, единичной.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 8

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Какова формула углового коэффициента и свободного члена () МНК прямой? Есть ли связь между МНК прямой и центром тяжести исходной системы точек?

3. Вычислить где область D - треугольник с вершинами O( 0,0), A(1,1), B(0,1).

4. Найти общее решение .

5. Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равны математическое ожидание и дисперсия величины ? Какое распределение имеет случайная величина ?

6. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий совместности неоднородных уравнений системы уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 9

1. Что характеризует производная по направлению?

2. Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (xi, yi) прямая y=ax+b?

3. Найти градиент функции в точке

4. Найти общее решение .

5. Постройте таблицу статистического распределения выборки:
   -3, 0, 1, 4, -3, 4, -3, 0, 4, 1. Найдите выборочное среднее.

6. Какое решение системы называют общим, а какое частным? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 10

1. Что называется частным решением дифференциального уравнения второго порядка ?

2. Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная (эмпирическая) частота значения хi из вариационного ряда?

3. Найти полный дифференциал функции в точке (0, 1).

4. Найти общее решение .

5. Найдите сумму квадратов отклонений S от точек (1,1), (1,3) (3,2), (3,4) до прямой y=x/2+1,5.

6. Найти матрицу , обратную к матрице А и с ее помощью решить систему , где
   , , .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 11

1. Что называется разностным уравнением?

2. Какая оценка параметра называется несмещенной? Какая оценка параметра называется состоятельной?

3. Найти производную по направлению функции в точке в направлении, составляющем с осью Ox угол в

4. Найти общее решение .

5. Постройте кумулятивную кривую по сгруппированным данным, n=20
   

6. Найти матрицу А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А =, где , = , = .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 12

1. Что называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами?

2. По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?

3. Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

4. Найти общее решение .

5. Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность p{}?

6. Какие системы называют эквивалентными? Меняют ли элементарные преобразования над системой уравнений ее решение?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 13

1. Какая область на плоскости называется ограниченной?

2. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда проверяется статистическая гипотеза о том, что среднее значение генеральной совокупности =0 на уровне значимости , если генеральная дисперсия неизвестна? Какое распределение она имеет? Если n>20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная =0 или альтернативная ей?

3. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .

4. Найти частное решение .

5. По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Проходит ли на уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при альтернативной гипотезе Mx≠My? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)

6. Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 14

1. Что называется областью на плоскости?

2. Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестного математического ожидания?

3. Найти градиент функции в точке

4. Найти общее решение .

5. Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность p{>a+2}?

6. Сколько решений может иметь система уравнений: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 15

1. Дать определение общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

2. Как исправить эмпирическую дисперсию S2, чтобы получить несмещенную точечную оценку s2 для неизвестной дисперсии?

3. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .

4. Найти общее решение .

5. Найти выборочное среднее по данному распределению выборки
   

6. При решении однородной системы какие переменные называют свободными, а какие – несвободными? Чему равно число свободных переменных?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 16

1. Каков общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка?

2. Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки? Какая выборка называется репрезентативной?

3. Найти градиент функции в точке (1, 1).

4. Найти общее решение .

5. Величина  имеет распределение N(a, ). Чему равна вероятность ?

6. Найти матрицу А-1, обратную к матрице .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 17

1. Сформулировать достаточное условие наличия экстремума функции двух переменных.

2. Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон для дискретных вариационных рядов?

3. Вычислить где область D ограничена линиями .

4. Найти общее решение .

5. X~N(2,3); Y~N(1,4). Какое распределение имеет их сумма Z=X+Y?

6. Вычислить определитель матрицы А=методом Гаусса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 18

1. Что называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка?

2. По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения  нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения  известно? По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно?

3. Вычислить приближенно , используя полный дифференциал.

4. Найти общее решение .

5. Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 5 месяцев оказались следующими:
   
   С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая. Какое значение даст эта прямая для прибыли в марте? (Указание. Для получения этого значения строить прямую не надо).

6. Дать определение системы из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 19

1. Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения?

2. Чему равно математическое ожидание равномерного распределения на отрезке [a,b], нормального распределения N(a, )? Чему равна дисперсия величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], величины, распределенной нормально – N(a, )?

3. Найти производную по направлению функции в точке (1, 2) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в .

4. Найти общее решение .

5. Чему равны медианы выборок: -1, 3, 2, 0, +1, -1.0 (n = 7) и -1, 3, 2, 0, 1, 2,0, 3 (n = 8)?

6. Понятие определителя применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 20

1. Что называется функцией трех переменных?

2. Какое распределение имеет эмпирическое среднее , если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(, )?

3. Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

4. Найти общее решение .

5. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей плотность распределения ?

6. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений: .

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 21

1. Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?

2. Что такое таблица статистического распределения выборки?

3. Найти производную по направлению функции в точке (1, 1) в направлении прямой .

4. Найти общее решение .

5. Как изменятся средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение прибыли палатки при росте всех цен в 2 раза, если объем продаж сохранится? А если объем продаж при этом в 2 раза уменьшится?

6. Какие однородные системы имеют единственное решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 22

1. Что называется точкой максимума функции двух переменных?

2. Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной дисперсии?

3. Найти производную по направлению функции в точке (1, 1) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в .

4. Найти общее решение .

5. Постройте кумуляту по таблице:
   
   Найдите медиану.

6. Основные свойства определителя.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 23

1. Дать определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.

2. Дать определение случайной величины tn, подчиняющейся закону Стьюдента с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться вместо распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?

3. Найти область определения функции .

4. Найти общее решение .

5. В половине наблюдений случайная величина равнялась 1, а в другой половине она равнялась 3. Найдите выборочное среднее и выборочную дисперсию.

6. Дать определение ранга матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 24

1. Каков геометрический смысл полного дифференциала?

2. Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов?

3. Найти градиент функции в точке.

4. Найти общее решение .

5. Как следует изменить объем выборки n, чтобы доверительный интервал для математического ожидания сузился вдвое?

6. Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 25

1. Сформулировать необходимое условие существования экстремума функции двух переменных.

2. Как определяется дисперсия случайной величины? Какими свойствами обладает дисперсия случайной величины?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
   

6. Совместна ли система уравнений: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 26

1. Что называется стационарной точкой функции двух переменных?

2. Какая связь между величинами называется линейной статистической связью?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 5-ти учащихся по выборке:
   

6. Сколько линейно независимых решений имеет система: ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 27

1. Что называется точкой минимума функции двух переменных?

2. Если f(x) – плотность распределения вероятностей, то чему равен ? Чему равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [x1, x2)?

3. Найти полный дифференциал функции в точке

4. Найти общее решение .

5. X~N(2,1). Какое распределение имеет величина Y=2X+1?

6. Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 28

1. Что называется производной по направлению?

2. Что такое среднеквадратическое отклонение? Каковы его свойства? Чему равно среднеквадратическое отклонение величины, распределенной нормально – N(a, )?

3. Вычислить где область D ограничена линиями

4. Найти общее решение .

5. По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n=12 и m=18, извлеченным из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Можно ли считать, что на уровне значимости 0,05 проходит не основная гипотеза о равенстве генеральных средних, а альтернативная ей гипотеза о том, что М(Х)>M(Y)? (Указание. При n>20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением)

6. В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное решение? Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 29

1. Что называется граничной точкой области?

2. Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых интервалов?

3. Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

4. Найти общее решение .

5. Проверьте с =0.05 гипотезу Н0: =100 против ≠100, если по выборке объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S2=4.

6. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 30

1. Дать определение точки разрыва функции.

2. Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?

3. Найти полный дифференциал функции в точке .

4. Найти решение задачи Коши

5. Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того, что Х

6. Совместна ли следующая система: ? Найти ее решение.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 31

1. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

2. Какая случайная величина называется непрерывно распределённой величиной? Что такое ее плотность распределения? Как связаны между собой плотность вероятности f(x) и функция распределения F(x)?

3. Исследовать на максимум и минимум функцию .

4. Найти общее решение .

5. Какому закону подчиняется разность двух выборочных средних, если случайные величины Х и Y для которых они находятся по выборкам объема n и m соответственно, распределены одинаково и незaвисимы: X,Y~N(,)?

6. Существует ли матрица А-1, обратная ?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 32

1. Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?

2. Какую сходимость к некоторому значению называют сходимостью по вероятности?

3. Вычислить где область D ограничена линиями .

4. Найти общее решение .

5. Для нормальной случайной величины Х~N(2,1) найдите вероятность того, что 0

6. Элементарные преобразования над строками матрицы.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 33

1. Дать определение непрерывности функции в точке.

2. По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?

3. Найти производную по направлению функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке

4. Найти общее решение .

5. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найдите выборочную среднюю длину стержня, выборочную и исправленную дисперсию ошибок прибора.

6. Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя строки матрицы являются зависимыми, а при каком – независимыми?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 34

1. Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциального уравнения второго порядка.

2. Какой метод получения оценок параметров называется методом моментов? Приведите пример оценок, которые строятся с применением метода моментов.

3. Найти производную по направлению функции в точке в направлении, составляющем с осью Ox угол в

4. Найти общее решение.

5. Чему равна частота попадания в интервал (0,1; 0,3) случайных чисел, извлеченных из равномерного закона на отрезке [0, 1] при большом их количестве?

6. Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

Билет № 35

1. Как определяется поверхность уровня функции трех переменных?

2. По какой формуле считается l-ый начальный момент распределения? По какой формуле считается l-ый центральный момент распределения?

3. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно .

4. Найти решение задачи Коши

5. Выборочные сведения о выполнении норм выработки рабочими приведены в таблице:
   
   Найдите средний процент выполнения норм выработки всеми рабочими.

6. Однородные системы уравнений. Основные свойства.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

6

примерный перечень экзаменационных вопросов

МАТЕМАТИКА (углубленный курс)

1. Что называется функцией нескольких переменных? Определите поверхности уровня функции трех переменных.

2. Что называют областью на плоскости, граничной точкой области, ограниченной замкнутой областью?

3. Сформулировать теорему о свойствах функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области.

4. Дать определение предела функции в точке, непрерывности функции в точке и точки разрыва функции.

5. Что называется частной производной? Какая функция называется дифференцируемой в точке?

6. Что называется полным дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

7. Что называется производной по направлению, и что она характеризует? Что является графиком функции?

8. Дать определения точек максимума и минимума функции двух переменных, стационарных точек. Сформулировать достаточное условие экстремумов.

9. Дать определение двойного интеграла.

10. Что называется дифференциальным уравнением? Что называется разностным уравнением?

11. Что называют общим решением дифференциального уравнения первого или второго порядков? Какое решение называется частным?

12. Сформулировать задачу Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

13. Сформулировать теорему существования и единственности для дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

14. Каков общий вид дифференциального уравнения первого порядка? Что называется линейным разностным уравнением первого порядка?

15. Дать определение линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Какую структуру имеют их общие решения? Какое уравнение называют характеристическим?

16. Что называют линейным однородным и линейным неоднородным разностными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами? Какую структуру имеют их общие решения?

17. Найти область определения функции .

18. Найти полный дифференциал функции в точке .

19. Вычислить частные производные первого и второго порядков для функции .

20. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно величину .

21. Найти градиент функции в точке .

22. Найти полный дифференциал функции в точке .

23. Найти градиент функции в точке .

24. Найти производную по направлению функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

25. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми , , .

26. Исследовать на максимум и минимум функцию .

27. Исследовать на максимум и минимум функцию , x › 0, y › 0.

28. Найти частное решение уравнения первого порядка удовлетворяющее начальному условию .

29. Найти частное решение линейного неоднородного разностного уравнения , , .

30. Найти общее решение .

31. Найти общее решение .

32. Найти общее решение .

33. Найти общее решение .

34. Найти общее решение .

35. Найти общее решение.

36. Дать определение прямоугольной, транспортированной, симметричной и единичной матриц.

37. Дать определение некоммутативных матриц. Привести пример.

38. Действия над матрицами: сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц.

39. Дать определение ранга матрицы.

40. Элементарные преобразования над строками матрицы.

41. Приведение матрицы к ступенчатому виду методом Гаусса (на примере).

42. Дать определение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными. Матричная векторная форма записи системы линейных уравнений. Какую матрицу называют матрицей системы уравнений? Какая матрица называется расширенной матрицей системы? Как записываются вектор неизвестных и вектор правых частей уравнений?

43. Какую систему уравнений называют однородной, неоднородной? Что называется решением системы уравнений?

44. Какие системы называются эквивалентными? Меняют ли элементарные преобразования над системой уравнений ее решение?

45. Однородные системы уравнений. Основные свойства. Решение однородной системы методом Гаусса. Какие однородные системы имеют единственное решение? Пример. При решении однородной системы, какие переменные называют свободными, а какие ― несвободными? Чему равно число свободных переменных?

46. В чем заключается прямой и обратный ход метода Гаусса (на примере)?

47. Какое решение системы называют общим, а какое частным. Пример.

48. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений. Критерий совместности неоднородной системы уравнений.

49. В каком случае неоднородная система уравнений имеет единственное решение? Пример.

50. Задача межотраслевого баланса. Ее математическая модель.

51. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя, применительно к матрице второго порядка. Пример.

52. Понятие определителя, применительно к матрице третьего порядка. Какую величину называют алгебраическим дополнением элемента? Пример. Как записывается формула разложения определителя по строке или столбцу? Пример.

53. Основные свойства определителя.

54. Какую матрицу называют невырожденной? При каком значении определителя строки матрицы являются зависимыми, а при каком ― независимыми?

55. Дать определение обратной матрицы. Условие существования обратной матрицы.

56. Даны матрицы и . Найти АВ-ВА.

57. Найти ранг матрицы .

58. Вычислить определитель матрицы det A, где , методом Гаусса.

59. Найти матрицу А-1, обратную к матрице А, и с ее помощью решить систему: , где , , .

60. Найти общее решение однородной системы: .

61. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений:

.

1. В чем состоит метод сплошных наблюдений, применяемый в статистике? В чем состоит выборочный метод, применяемый в статистике?

2. Какая случайная величина называется непрерывно распределенной величиной? Что такое ее плотность распределения? Как связаны между собой плотность вероятности f(x) и функция распределения F(x)? Чему равна вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал ?

3. Как определяются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение случайной величины? Какими свойствами они обладают?

4. Чему равны математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения на отрезке , нормального распределения ?

5. В чем состоит правило трех σ (сигм)?

6. Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки? Какая выборка называется репрезентативной?

7. Что такое реализации и вариационный ряд? Что такое относительная (эмпирическая) частота значения xi из вариационного ряда?

8. Что такое таблица статистического распределения выборки? Как по ней строится полигон для дискретных вариационных рядов?

9. Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов? В случае неодинаковых интервалов?

10. Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?

11. Что такое мода для дискретного вариационного ряда? Что такое медиана?

12. Какую сходимость к некоторому значению называют сходимостью по вероятности?

13. Какая оценка параметра называется точечной? Приведите примеры точечных оценок.

14. Какой метод получения оценок параметров называется методом моментов? Приведите пример оценок, которые строятся с применением метода моментов.

15. По каким формулам считаются 1-ый начальный и 1-ый центральный моменты распределения?

16. По каким формулам считаются 1-ый начальный и 1-ый центральный эмпирические моменты?

17. По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическое среднее в случае, если задана таблица статистического распределения выборки? Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестного математического ожидания?

18. По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если в выборке нет повторяющихся значений? По какой формуле считается эмпирическая дисперсия S2 в случае, если задана таблица статистического распределения выборки?

19. Какая функция выборки задает точечную оценку для неизвестной дисперсии? Как исправить эмпирическую дисперсию S2, чтобы получить несмещенную точечную оценку s2 для неизвестной дисперсии?

20. Что такое квантиль уровня p случайной величины ξ, имеющей плотность распределения f(x)?

21. Дать определение случайной величины xи-квадрат с n степенями свободы (χ2n). Дать определение случайной величины t n, подчиняющейся закону Стьюдента с n степенями свободы. Каким законом можно пользоваться вместо распределения Стьюдента при большом числе степеней свободы?

22. Какое распределение имеет эмпирическое среднее , если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(μ, σ)? Какое распределение имеет эмпирическая дисперсия S2, если выборка произведена из совокупности, имеющей распределение N(α, σ)?

23. По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения μ нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения σ известно? По какой формуле вычисляется по выборке доверительный интервал для среднего значения нормального распределения в случае, когда среднеквадратическое отклонение распределения неизвестно?

24. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда проверяется статистическая гипотеза о том, что среднее значение генеральной совокупности μ=μ0 на уровне значимости α, если генеральная дисперсия неизвестна? Какое распределение она имеет? Если n › 20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 4, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная μ=μ0 или альтернативная ей?

25. Какая статистика вычисляется по выборке в случае, когда надо проверить гипотезу о равенстве средних 2-х генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями, если эти дисперсии неизвестны? Какое распределение она имеет? Если n › 20 и значение этой статистики, вычисленное по выборке, равно 2.5, а уровень значимости равен 0.05, какая гипотеза должна быть принята: основная μx=μy или альтернативная ей?

26. Какая связь между величинами называется линейной статистической связью?

27. Когда при изучении пары зависимых признаков применяется регрессионная модель, а когда ковариационная?

28. По какой формуле вычисляется эмпирический коэффициент корреляции rxy?

29. Из какого условия в методе наименьших квадратов ищется по точкам (xi, yi) прямая y = ax + b? Какова формула углового коэффициента и свободного члена () МНК прямой? Есть ли связь между МНК прямой и центром тяжести исходной системы точек?

30. Проверьте с α = 0.05 гипотезу Н0: μ = 100 против μ ≠ 100, если по выборке объема 225 найдено эмпирическое среднее, равное 101, и S2 = 4.

31. Какому закону подчиняется разность двух выборочных средних, если случайные величины X и Y, для которых они находятся по выборкам объема n и m соответственно, распределены одинаково и независимы: X, Y ~ N (μ‚σ)?

32. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

Построить полигон и найти моду.

1. Постройте гистограмму, полигон и кумуляту распределения роста студентов по таблице:

Постройте графически моду, найдите медиану.

1. Средняя прибыль палатки составляет 1 тыс. рублей в день. Как изменятся средняя прибыль и среднеквадратическое отклонение прибыли палатки при росте всех цен в 3 раза, если объем продаж сохранится? А если объем продаж при этом в 3 раза уменьшится?

2. Имеются 2 независимые случайные величины ξ и η; D(ξ) = 3, D(η) = 2. Чему равна дисперсия величины 2ξ + +3?

3. Выборка из большой партии электроламп содержит 200 ламп. Средняя продолжительность горения лампы оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности α горения ламп всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы σ = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

4. По 2-м независимым малым выборкам, объемы которых n =15 и m = 20, извлеченных из нормальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние, дисперсии и вычислено значение статистики . Проходит ли на уровне значимости 0,05 гипотеза о равенстве генеральных средних при альтернативной гипотезе Mx ≠ My? (Указание. При n ›20 распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным распределением.)

5. Найдите эмпирический коэффициент корреляции между весом и ростом 6-ти учащихся по выборке:

   Рост X	165	172	170	168	175	180
   Вес Y	60	70	70	68	73	75

6. Для нормальной случайной величины N(3,2) найдите вероятность того, что x ›-1,

-1 ‹ x ‹ 7.

1. Чему равны размах и медианы выборок 3,-2,-1,5,0,-1,4 (n=7) и 2,-2,-3,4,0,1,3,4 (n=8)?

2. Данные о прибыли, полученной в течение месяца, за последние 7 месяцев оказались следующими:

С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам сроится прямая. Какое

значение даст эта прямая для прибыли в апреле? (Указание. Для получения этого

значения строить прямую не надо.)

1. Дана двумерная выборка (xi, yi): (1,0), (3,0), (1,0), (3,1), (3,0), (1,5); для нее n = 6,

, , , . Найдите выборочный коэффициент корреляции.

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 1

1. Полярная система координат на плоскости. Связь координат точки в полярной и прямоугольной системах координат.

2. Что такое схема Бернулли? Записать формулу Бернулли и объяснить, при каких условиях она применяется.

3. Определить, какие из точек К (1, -1), L (2, -5), M (-4, -3) принадлежат множеству А = {(x,y) : x + 1 ≥ y ≥ -x2}.

4. Написать уравнение окружности с центром (5,-2), проходящей через точку (3, 1).

5. Найти производную функции (x) = tg (x2).

6. Для нормальной величины X ~ N(4,3). Найти M(2x+3) и D(2x+3).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 2

1. Дать определение графика числовой функции. Построить графики функций y = ex и y = ln x.

2. Записать формулу полной вероятности и привести пример ее применения.

3. Для множеств А = {-5, -2, 4, 7}, В = {2, 5, 7, 9} найти А В, А В, A \ B.

4. Написать уравнение окружности с центром (4,-2), проходящей через точку (1, -4).

5. Найти интервал монотонности функции (x) = x4 – 2x2 –3.

6. Интервалы между поездами метро 5 минут. Какова вероятность того, что, спустившись в метро в случайный момент времени, придется ждать поезда не меньше 1 минуты и не больше 3 минут?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 3

1. Какие множества называются счетными? Привести пример счетного множества, и проверить, что оно счетно, исходя из определения.

2. Как определяется нормальное распределение? В чем смысл центральной предельной теоремы?

3. Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным соответствие, сопоставляющее каждой европейской стране первую букву ее названия по-русски.

4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, 2, 1) параллельно плоскости 2x + 3y - 4z - 5 = 0.

5. Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х4 + 4х3 +х + 20.

6. Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 16.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 4

1. Дать геометрическое определение параболы. Что такое вершина, директриса, фокус? Нарисовать чертеж параболы и показать на нем вышеупомянутые точки и прямую.

2. Формула Ньютона – Лейбница. Привести пример применения формулы.

3. Для множеств А = {-4, -1, 4, 9}, В = {1, 4, 6, 9} найти А В, А В, A \ B.

4. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (-1, 2), В (2, 5), С (-6, 1).

5. Найти точки экстремума функции ƒ(х) = х4 – 8х2 - 2.

6. Некий баскетболист попадает в среднем 7 штрафных бросков из 10. Найти вероятность того, что из 3 бросков он забросит хотя бы 2.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 5

1. Дать определение пересечения множеств, показав его на диаграммах Венна. Привести пример пересечения числовых множеств.

2. Как вводятся числовые характеристики непрерывной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение? Какой смысл имеют эти характеристики?

3. В трудовом коллективе из 35 человек каждый является или начальником или подчиненным. Начальников 13, а подчиненных 34. Сколько сотрудников являются и начальниками, и подчиненными?

4. Найти длину вектора 2 – , если дано: {3, 1, -2}, {1, -1, -3}.

5. Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х4 - 4х3 +х + 12.

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 6

1. Дать определение графика числовой функции. Построить графики функций и .

2. Сформулировать первый и второй замечательный пределы.

3. Определить, какие из точек К (0, -4), L (-2, -1), M (-4, 1) принадлежат множеству А = {(x,y) : 1 - х ≥ y ≥ x2 -4}.

4. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (1, -3), В (0, 3), С (-4, 1).

5. Найти производную функции (x) = sin (x2 + 1).

6. Человеку, достигшему 60-ти лет, вероятность умереть на 61-ом году жизни равна 0,09. Какова вероятность того, что из 3-х человек в возрасте 60-ти лет двое будут живы через год?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 7

1. Дать определение объединения множеств, показав его на диаграммах Венна. Привести пример объединения числовых множеств.

2. Что такое непрерывная случайная величина? Какими данными она задается? Привести пример.

3. Опрос 100 выпускников школ показал, что 39 из них руководствуются мнением родителей, 63 – мнением сверстников, а 21 – обоими. Сколько выпускников руководствуется лишь собственным мнением?

4. Найти длину вектора – 2, если дано: {2, -4, -1}, {-1, -3, 1}.

5. Вычислить определенный интеграл .

6. Интервалы между поездами метро 5 минут. Какова вероятность того, что, спустившись в метро в случайный момент времени, придется ждать поезда больше 3 минут?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 8

1. Дать определение дизъюнкции высказываний. Построить дизъюнкцию высказываний «целое число х делится на 6» и «целое число х имеет остаток 3 от деления на 6». Истинна ли дизъюнкция при х = 9?

2. Правило замены переменной под знаком интеграла. Привести пример.

3. Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: все а являются b и некоторые b являются с, следовательно, некоторые а являются с.

4. Найти длину вектора 2 – , если дано: {-2, 5, 3}, {-5, 7, 7}.

5. Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х4 + 2х3 +х + 5.

6. Случайная величина задана рядом распределения:
   
   Найти Р3 и М(3 - 2x).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 9

1. Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл его параметра. Формула координат фокуса и уравнения директрисы. Привести пример.

2. Что такое Пуассоновский поток событий? Привести пример его применения.

3. Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a )  .

4. Найти каноническое уравнение прямой, походящей через точку А (3, -1, 2) параллельно прямой .

5. Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = х4 – 8х2 + 1.

6. В магазин вошли пять покупателей. Найти вероятность того, что три из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого равна 0,5.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 10

1. Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = sin(x).

2. Как определяется и какими свойствами обладает функция плотности вероятности непрерывной случайной величины?

3. Какие функции являются обратными к функциям y = x2, y = ex и y = tg x.

4. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (-1, 2), В (2, 5), С (-6, 1).

5. Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = 2х3 + 3х2 –36х -2.

6. Для событий H1, H2, A в некотором случайном эксперименте известно:
   = Ш, p() =0,4, p() =0,6, p(A|) = 0,3, p(A|) = 0,5.
   Найти p(А).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 11

1. Угол между векторами. Формула для косинуса угла в координатах. Условие ортогональности векторов.

2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Привести пример.

3. В результате опроса 100 жителей г. Москвы выяснилось, что 57 человек имеют автомобиль, 48 – дачу, 23- ни того, ни другого. Сколько человек имеют и машину и дачу?

4. Найти косинус угла между векторами и , если известно:
   {1, -2, 2}, А (4, -1, 2), В (3, 0, 1).

5. Найти производную функции (x) = .

6. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что шары окажутся черными.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 12

1. Дать определение коньюнкции высказываний. Построить коньюнкцию высказываний «целое число х делится на 3» и «целое число х делится на 4». Истинна ли коньюнкция при х = 4?

2. Основные правила вычисления пределов. Что такое неопределенность типа []?

3. Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным соответствие, сопоставляющее каждому человеку отпечаток большого пальца его правой руки.

4. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящим через точку А (3, 1) перпендикулярно прямой 3y + x – 4 = 0.

5. Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = х4 – 2х2 –3.

6. В магазин поступает товар от трех поставщиков. Вероятности того, что товар будет доставлен в срок, равны соответственно 0,85; 0,6; 0,5. Найти вероятность того, что хотя бы одна партия не будет доставлена в срок.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 13

1. Дать определение области определения и области значений числовой функции. Описать области определения и значений функции y = .

2. Что такое дискретная случайная величина? Какими данными она задается? Привести пример.

3. Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным соответствие, сопоставляющее каждому человеку его маму.

4. Написать каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, у которой действительная полуось горизонтальна и равна 3, а мнимая полуось равна 2. Найти координаты фокусов.

5. Найти точки экстремума функции ƒ(х) = 2х3 + 3х2 –36х -1.

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 14

1. Дать геометрическое определение эллипса. Что такое фокусы, вершины, центр? Нарисовать чертеж эллипса и показать на нем вышеупомянутые точки.

2. Правило интегрирования по частям неопределенного интеграла. Привести пример.

3. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А (В С) = (А В) (А С)»? Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.

4. Прямоугольная система координат. Координаты точки и вектора. Найти координаты вектора и его длину.

5. Вычислить определенный интеграл .

6. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
   p() =0,6, p () = 0,7, p(AB)= 0,2 . Зависимы ли события А и В?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 15

1. Объясните понятия: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие. Привести примеры для каждого из них.

2. Дать определение суммы двух событий. Записать формулу вероятности суммы двух событий и привести пример ее применения.

3. Показать на числовой прямой множества А = [2, 7] и В = (2, +∞). Найти и показать штриховкой А В, A ⋃ B, A \ B.

4. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (2, -5), В (4, 6),С (-2, 0).

5. Найти производную функции ƒ (x) = sin (x).

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти М (1 - Х).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 16

1. Дать определение взаимно-однозначного соответствия множеств А и В. Привести пример взаимно-однозначного соответствия и пример отображения, которое не является взаимно-однозначным соответствием.

2. Определение точки локального минимума функции. Необходимое условие минимума. Достаточное условие минимума. Привести пример применения достаточного условия.

3. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А \ (В С) = (А \ В) (А \ С)»? Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.

4. Написать каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, у которого большая полуось вертикальна и равна 4, а малая полуось равна 3. Найти координаты фокусов.

5. Найти интервал монотонности функции (x) = x2ex.

6. Случайная величина Х равна числу, выпавшему на игральной кости. Считая, что все грани кости выпадают с равной вероятностью, найти МХ.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 17

1. Формула для уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки. Привести пример применения этой формулы.

2. Алгоритм нахождения максимума и минимума функции на отрезке.

3. Сколько процентов составляет число 4 от числа 20? Число 20 от числа 4?

4. Найти косинус угла между векторами и , если известно:
   {-2, 3, 1}, А (1, 5, 3), В (-2, 7, 4).

5. Найти производную функции (x) = cos (x)(x + 1)2.

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти M (-5 X).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 18

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Как выглядит общее уравнение вертикальной и горизонтальной прямой?

2. Дать определение производной. Нарисовав чертеж, сформулировать геометрический смысл производной.

3. Даны числовые множества: А = х3 , В = х целое,С=(-27, 9). Найти (А С) \ В.

4. Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно: А (2, 1), В (2, 0), С (-1, 1).

5. Найти точки перегиба функции (x) = x4 – 6x2 + 5.

6. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется меньше 5.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 19

1. Формула угла между прямыми на плоскости, заданными своими угловыми уравнениями. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

2. Что такое схема Бернулли? Записать асимптотические формулы Муавра-Лапласа и объяснить, при каких условиях они применяются.

3. Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: все а являются b и ни одно b не является с, следовательно, ни одно с не является а.

4. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (3, -1), В (-3, 1), С (-1, 1).

5. Найти производную функции (x) = .

6. Чему равна вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости 2 раза выпадет 1?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 20

1. Дать определение графика числовой функции. Построить графики функций и .

2. Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм нахождения наклонной асимптоты.

3. Даны числовые множества: А = х целое, В = 2х ,С=(-9,10). Найти (А С) \ В.

4. Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно: А (-3, 0), В (-3, 5), С (5, 3).

5. Вычислить определенный интеграл .

6. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 12.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 21

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 30

1. Дать определение арифметической прогрессии. Написать формулы для
   п-го члена прогрессии и суммы первых п членов. Привести пример применения этих формул.

2. Правило дифференцирования сложной функции. Привести пример.

3. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А (В С) = (А В) (А С)»? Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.

4. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящим через точку А (2, -3) параллельно прямой 2y - 6x + 5 = 0.

5. Вычислить неопределенный интеграл .

6. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
   p(А) =0,5, p (В) = 0,6, p()= 0,7 . Зависимы ли события А и В?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 31

1. Дать геометрическое определение гиперболы. Что такое фокусы, вершины, центр? Нарисовать чертеж гиперболы и показать на нем вышеупомянутые точки.

2. Как формулируется классическое определение вероятности?

3. Проверить, исходя из определения, какие из функций являются четными, какие нечетными: y = sin (x), y = eх, y = x 6 .

4. Найти скалярное произведение векторов , если известно:
   {-3, 1, 4}, {5, -3, 2}, {0, 2, -3}.

5. Найти производную функции ƒ (x) = .

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 32

1. Дать определение геометрической прогрессии. Написать формулы для
   п-го члена прогрессии и суммы первых п членов. Привести пример применения этих формул.

2. Алгоритм нахождения интервалов возрастания и убывания функции. Привести пример.

3. Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (с )  .

4. Найти координаты точки D, если известно: .

5. Найти точки экстремума функции ƒ(х) = х3 – 9х2 +15х + 3.

6. Воспользовавшись правилом «трех сигм», построить 99%-интервал для N (-1, 2).

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 33

1. Угол между прямыми в пространстве. Формула косинуса угла. Привести пример применения этой формулы.

2. Дать определение условной вероятности. Когда условная вероятность равна нулю?

3. Показать на числовой прямой множества А = [-2, 6] и В = (-∞, 5). Найти и показать штриховкой А В, A ⋃ B, В \ А.

4. Найти координаты точки С, если известно:

5. Вычислить неопределенный интеграл .

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 34

1. Угловое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов. Как выглядит уравнение горизонтальной прямой?

2. Определение и достаточный признак возрастания функции на интервале. Привести пример.

3. Известно, что высказывания a, b, с –ложны. Определить истинность высказывания (с )  b.

4. Найти длину вектора – 2, если дано: {2, -1, 7}, {-1, 1, 4}.

5. Найти интервал монотонности функции (x) =.

6. Вероятность попадания в десятку у данного стрелка при одном выстреле равна 0,3. Определить вероятность попадания в десятку три раза при шести выстрелах.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС (ДЛЯ ЮРИСТОВ, ЛИНГВИСТОВ И ПСИХОЛОГОВ)

Билет № 35

1. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов. Привести пример.

2. Что такое стохастический (случайный) эксперимент, событие, элементарные события? Привести пример случайного эксперимента и описать в нем элементарные события.

3. Для множеств А = {-9, 2, 3, 7}, В = {-2, 2, 7, 9}. Найти А В, А В, A \ B.

4. Написать каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, у которого большая полуось горизонтальна и равна 5, а малая полуось равна 3. Найти координаты фокусов.

5. Найти точки перегиба функции (x) = 2x4 – 8x3 + 12x2 + 3.

6. Случайная величина Х задана рядом распределения:
   
   Найти DX.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

5

примерный перечень экзаменационных вопросов
Математика. Базовый курс (Для юристов, лингвистов и психологов)

1. Пересечение множеств. Объединение множеств. Разности множеств. Диаграммы Венна.

2. Взаимно-однозначного соответствия множеств А и В.

3. Область определения и область значений числовой функции. Описать области определения и значений функций: y = x4 , y = cos(x).

4. График числовой функции. Построить графики функций у = ctg(x), y=ln(x),

5. Счетные множества. Привести пример счетного множества, и проверить, что оно счетно, исходя из определения.

6. Определение арифметической прогрессии. Формулы для п-го члена прогрессии и суммы первых п членов.

7. Дать определение геометрической прогрессии. Формулы для п-го члена прогрессии и суммы первых п членов.

8. Дать определение высказывания и неопределенного высказывания.

9. Дать определение коньюнкции высказываний. Построить коньюнкцию высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х делится на 5". Истинна ли коньюнкция при х = 5?

10. Дать определение дизъюнкции высказываний. Построить дизъюнкцию высказываний "целое число х делится на 7" и "целое число х имеет остаток 3 от деления на 7". Истинна ли дизъюнкция при х = 10?

11. 19. Дать определение импликации высказываний. Построить две возможные импликации высказываний "целое число х делится на 3" и "целое число х делится на 6".

12. Объясните понятия: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие.

13. Определение суммы векторов. Свойства операции сложения. Сумма векторов, заданных своими координатами.

14. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формула скалярного произведения в координатах.

15. Угол между векторами. Формула для косинуса угла в координатах. Условие ортогональности векторов.

16. Полярная система координат на плоскости. Связь координат точки в полярной и прямоугольной системах координат.

17. Угловое уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов.

18. Общее уравнение прямой на плоскости.

19. Формула угла между прямыми на плоскости, заданными своими угловыми уравнениями. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

20. Формула для уравнения прямой, проходящей через 2 данные точки.

21. Геометрическое определение эллипса. Фокусы, вершины, центр эллипса.

22. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Формулы для координат вершин и эксцентриситета. Привести пример.

23. Геометрическое определение гиперболы. Фокусы, вершины, центр гиперболы.

24. Каноническое уравнение гиперболы. Геометрический смысл его параметров. Формулы координат фокусов. Формулы координат вершин и уравнения асимптот. Привести пример.

25. Геометрическое определение параболы. Вершина, директриса, фокус параболы.

26. Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл его параметра. Формула координат фокуса и уравнения директрисы. Привести пример.

27. Уравнение плоскости в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов.

28. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Геометрический смысл его коэффициентов.

29. Угол между плоскостями в пространстве. Формула косинуса угла.

30. Угол между прямыми в пространстве. Формула косинуса угла.

31. Основные правила вычисления пределов. Неопределенность типа [].

32. Сформулировать первый и второй замечательный пределы.

33. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Точки разрыва первого и второго родов. Привести пример точки разрыва функции.

34. Дать определение производной. Геометрический смысл производной.

35. Определение и достаточный признак возрастания функции на интервале.

36. Определение и достаточный признак убывания функции на интервале..

37. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций.

38. Правило дифференцирования сложной функции.

39. Определение точки локального минимума функции. Необходимое условие минимума. Достаточное условие минимума.

40. Определение точки локального максимума функции. Необходимое условие максимума. Достаточное условие максимума.

41. Алгоритм нахождения интервалов возрастания и убывания функции.

42. Алгоритм нахождения максимума и минимума функции на отрезке.

43. Нарисовав чертежи, дать определения участков выпуклости и вогнутости графика функции, точек перегиба.

44. Алгоритм нахождения точек перегиба, участков выпуклости и вогнутости графика функции.

45. Определение вертикальной и наклонной асимптот графика функции. Алгоритм нахождения наклонной асимптоты.

46. Определение первообразной и неопределенного интеграла функции.

47. Правило замены переменной под знаком интеграла.

48. Правило интегрирования по частям неопределенного интеграла.

49. Определение определенного интеграла функции на отрезке. Геометрический смысл определенного интеграла.

50. Формула Ньютона – Лейбница.

51. Стохастический (случайный) эксперимент, событие, элементарные события.

52. Определение суммы и произведения двух событий, события противоположного к данному.

53. Классическое определение вероятности.

54. Геометрическое определение вероятности.

55. Определение суммы двух событий. Формула вероятности суммы двух событий и привести пример ее применения.

56. Определение условной вероятности.

57. Определение независимых событий. Формула вероятности произведения независимых событий.

58. Формула полной вероятности.

59. Дискретная случайная величина. Привести пример.

60. Непрерывная случайная величина. Привести пример.

61. Определение и свойства функции распределения случайной величины.

62. Определение и свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины.

63. Числовые характеристики дискретной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

64. Числовые характеристики непрерывной случайной величины - математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

65. Схема Бернулли. Формула Бернулли и условия ее применения.

66. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения.

67. Асимптотические формулы Муавра-Лапласа и условия ее применения.

68. Нормальное распределение. Смысл центральной предельной теоремы. Правило «трех сигм»? Как оно может применяться на практике?

69. Является ли истинным высказывание «Для любых множеств А, В, С выполняется А (В С) = (А В) (А С)»? Обосновать ответ с помощью диаграмм Венна.

70. Показать на числовой прямой множества А = [-5, 1] и В = (-∞, -1). Найти и показать штриховкой А В.

71. Для множеств А = {-4, -1, 4, 9}, В = {-1, 4, 6, 9} найти А В и А В.

72. Проверить, исходя из определения, является ли взаимно-однозначным соответствие, сопоставляющее каждому автомобилю его номер.

73. Проверить, исходя из определения, какие из функций являются четными, какие нечетными: y = cos (x), y = eх, y = x 5 .

74. Найти число, составляющее 240% от числа 55.

75. Нарисовав графики ( приблизительно), выяснить, какие из данных функций являются всюду возрастающими: у = cos (х), у = х, у = 2х .

76. Нарисовав графики ( приблизительно), выяснить, какие из данных функций являются возрастающими всюду на области определения у = х2 , у = ln (х), у = tg (x) .

77. Какая функция является обратной к функции у = х2?

78. В результате опроса 100 жителей г. Москвы выяснилось, что 58 человек имеют автомобиль, 42 – дачу, 21- ни того, ни другого. Сколько человек имеют и машину и дачу?

79. Определить, какие из точек К (0, -4), L (-1,1), M (6, -9) принадлежат множеству А = {(x,y) : x2 + 1 ≥ y ≥ -x -3}.

80. Даны числовые множества: А = 3х , В = х2 , С= (-2, 12). Найти (А С) \ В.

81. Известно, что высказывания a, b – истинны, а с – ложно. Определить истинность высказывания (a )  c.

82. Построить диаграмму Венна и проверить истинность следующего рассуждения: все а являются b и ни одно b не является с, следовательно, ни одно с не является а.

83. Найти координаты точки С, если известно:

84. При каком α векторы {-2, α, 4} и {1, -1,-2} коллинеарны?

85. При каком α векторы {-2, 3, 3} и {2, α,-2} ортогональны?

86. Найти скалярное произведение векторов , если известно:
    {-1, 3, 6}, {5, -0, 2}, {0, 2, -4}.

87. Найти длину вектора {-3, 0, 4}.

88. Найти координаты середины отрезка АВ, А (-3, 0, 8), В (-3, -6, 4).

89. Найти расстояние между точками А (-4, 3, 2) и В (-2, 1, 3).

90. Написать угловое уравнение прямой, общее уравнение которой имеет вид

91. 3х + 2у –7 = 0.

92. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку (-2,3), параллельно прямой x = 7.

93. Написать общее уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент 3 и проходящей через точку (4, -1).

94. Написать уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (-1, 4).

95. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (3, -5, 2) перпендикулярно вектору {2, -3, 1}.

96. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку
    (-1, 1, 4) параллельно вектору {5, 3, -2}.

97. Написать каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, у которого большая полуось горизонтальна и равна 4, а малая полуось равна 2.

98. Написать каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, у которого большая полуось вертикальна и равна 5, а малая полуось равна 2.

99. Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом (1, 0).

100. Написать каноническое уравнение параболы с директрисой х = -4 и вершиной в начале координат.

101. Написать каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, у которой действительная полуось горизонтальна и равна 5, а мнимая полуось равна 2.

102. Найти длину вектора 2 – , если дано: {-2, 5, 3}, {-5, 7, 7}.

103. Найти косинус угла между векторами и , если известно:
     {1, -2, 2}, А (4, -1, 2), В (3, 0, 1).

104. Найти общее уравнение медианы треугольника АВС из точки А, если известно: А (1, -3), В (0, 3), С (-4, 1).

105. Найти общее уравнение высоты треугольника АВС из точки А, если известно: А (-1, 4), В (-1, 0), С (2, 1).

106. Написать уравнение окружности с центром (5,-2), проходящей через точку (3, 1).

107. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (3, -1, 2) параллельно плоскости
     2x + 3y – 5z + 4 = 0.

108. Будут ли данные плоскости 2x - 3y – z + 4 = 0 и -4x + 6y + 2z + 1 = 0 параллельны?

109. Будут ли данные плоскости 3x + 4y – 5z + 3 = 0 и x + 3y + 3z - 2 = 0 перпендикулярны??

110. Найти .

111. Нарисуйте какой-нибудь график функции y = ƒ (x) такой, что ƒ (x) = a.

112. Найти .

113. Выяснить, какие из следующих функций являются бесконечно малыми в 0: у = х2, у = ех.

114. Найти какую-нибудь первообразную функции х2 .

115. Найти какую-нибудь первообразную функции cos (х).

116. Напишите определенный интеграл, выражающий площадь трапеции с вершинами (0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 3).

117. Найти производную функции ƒ (x) = 3x .

118. Найти производную функции ƒ (x) = cos (x).

119. Найти производную функции ƒ (x) = .

120. Найти интервалы монотонности функции ƒ(х) = 2х3 + 3х2 –36х -2.

121. Найти точки экстремума функции ƒ(х) = 2х3 + 3х2 –36х -1.

122. Найти точки перегиба функции ƒ(х) = х4 + 2х3 +х + 5.

123. Вычислить неопределенный интеграл dx.

124. Вычислить неопределенный интеграл .

125. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
     p(A) = 0,8, p(B) = 0,4. Совместны ли события А и В?

126. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
     p(A) =0,2, p (B) = 0,5, p(A+B) = 0,6. Найти p (AB).

127. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
     p(A) =0,6, p (B) = 0,2, p(A│B)= 0,3 . Найти p(B│A).

128. Для событий А и В в некотором случайном эксперименте известно:
     p(А) =0,5, p (В) = 0,6, p()= 0,7 . Зависимы ли события А и В?

129. Вычислить число сочетаний .

130. Для событий , , A в некотором случайном эксперименте известно:
     = Ш, p() =0,4, p() =0,6, p(A|) = 0,3, p(A|) = 0,5.
     Найти p(А).

131. Для нормальной величины Х ~ N (3, 2) найти D (X+7).

132. Для независимых нормальных случайных величин Х ~ N (0, 1),
     Y ~ N (-4, 3) найти D (X + Y).

133. Для биномиальной дискретной случайной величины Х с р = 0,3, n = 5. Найти MX, DX.

134. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 20.

135. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

136. В колоде 36 карт. Наугад вынимают две карты. Найти вероятность того, что вынутыми окажутся две дамы.

137. Шифр замка состоит из 3 цифр. Какова вероятность открыть замок с первого раза, набрав правильную комбинацию?

138. Случайная величина Х задана рядом распределения:
     
     Найти МX, M(1-Х), DX, D(1-X).

139. Интервалы между поездами метро 6 минут. Какова вероятность того, что спустившись в метро в случайный момент времени придется ждать поезда меньше 3 минут? Не меньше 2 минут и не больше 5 минут?

140. Чему равна вероятность того, что при 3-х подбрасываниях игральной кости 2 раза выпадет 6?

141. Стрелок поражает мишень в среднем в 8-ми выстрелах из 10-ти. Какова вероятность того, что из 4-х выстрелов 2 попадут по мишени?

142. Для нормальной величины X ~ N(5, 4). Найти M(3x+ 2) и D(3x + 2).

143. Вероятности успешной сдачи экзаменов по четырем предметам у данного студента соответственно равны: 0.6, 0.7, 0.8, 0.7. Какова вероятность того, что он успешно сдаст: 1) все экзамены; 2) хотя бы один экзамен?

144. Воспользовавшись правилом «трех сигм» построить 99% интервал для N(2, 3).

145. Случайная величина задана рядом распределений:
     
     Найти P3 и M(2 – 3x).