реферат
Главная

Рефераты по биологии

Рефераты по экономике

Рефераты по москвоведению

Рефераты по экологии

Краткое содержание произведений

Рефераты по физкультуре и спорту

Топики по английскому языку

Рефераты по математике

Рефераты по музыке

Остальные рефераты

Рефераты по авиации и космонавтике

Рефераты по административному праву

Рефераты по безопасности жизнедеятельности

Рефераты по арбитражному процессу

Рефераты по архитектуре

Рефераты по астрономии

Рефераты по банковскому делу

Рефераты по биржевому делу

Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству

Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту

Рефераты по валютным отношениям

Рефераты по ветеринарии

Рефераты для военной кафедры

Рефераты по географии

Рефераты по геодезии

Рефераты по геологии

Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

Московский Государственный педагогический Университет

им. В.И.Ленина

Комплексные числа в планиметрии

(Курсовая работа)

Подготовила: студентка III курса

Маематического факультета

Ильичёва Мария В.

Научный руководитель: доцент

Иванов Иван И.

Москва, 2000

Содержание

Введение

1.Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

2.Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

3.Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

4.Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

5.Прямая и окружность на плоскости комплексных чисел

6.Две прямые. Расстояние от точки до прямой

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в применении к задачам элементарной геометрии на плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.

Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):

Комплексные числа в планиметрии.

Комплексные числа в планиметрии

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r:

|z| = r = |OM| =

Комплексные числа в планиметрии.

Если Комплексные числа в планиметрии — ориентированный угол, образованный вектором Комплексные числа в планиметриис осью х, то по определению функции синуса и косинуса

Комплексные числа в планиметрии

откуда Комплексные числа в планиметрии и поэтому Комплексные числа в планиметрии.

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол Комплексные числа в планиметрии называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:

Комплексные числа в планиметрии.

Если дано комплексное число z=x+iy, то число Комплексные числа в планиметрии называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу Комплексные числа в планиметрии. Точки М(z) и Комплексные числа в планиметрии симметричны относительно оси х (рис.2).

Из равенства Комплексные числа в планиметрииследует y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и Комплексные числа в планиметрии симметричны относительно оси у. Из равенства z=Комплексные числа в планиметрии вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z=Комплексные числа в планиметрии является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z, очевидно, |z| = |Комплексные числа в планиметрии| = |-z| = |Комплексные числа в планиметрии|.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: Комплексные числа в планиметрии.

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Комплексные числа в планиметрии

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами.

Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор Комплексные числа в планиметрии. Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что Комплексные числа в планиметрии (рис.3). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что Комплексные числа в планиметрии.

Расстояние между точками А и В равно Комплексные числа в планиметрии:

|АВ| = |а-b|. (1)

Так как |z|2= zКомплексные числа в планиметрии, то

|AB|2=(a-b)(

Комплексные числа в планиметрии). (2)

Уравнение zКомплексные числа в планиметрии= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение Комплексные числа в планиметрии, в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

Комплексные числа в планиметрии

откуда

Комплексные числа в планиметрии (3)

Если положить Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии, то

Комплексные числа в планиметрии (4)

Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.

При Комплексные числа в планиметрииточка С является серединой отрезка AB, и обратно.

Тогда:

c =

Комплексные числа в планиметрии. (4a)

Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату Комплексные числа в планиметрии = Комплексные числа в планиметрии при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство

a+c = b+d (5)

является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1)

Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.

Так как m = Комплексные числа в планиметрии и n = Комплексные числа в планиметрии, то

|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

|AC|2+|BD|2+4|MN|2 Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии.

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2)

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству Комплексные числа в планиметрии, которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN, PQ, соединяющих середины противоположных сторон . (Рис.3)

C

B B C

M(O)

N M MЬ

A D A D

Рис. 1 Рис. 2

Решение. Требуется доказать: Комплексные числа в планиметрии

Запишем левую часть равенства в комплексной форме: Комплексные числа в планиметрии. Воспользовавшись (4a), находим комплексное равенство правой части и непосредственным подсчетом убеждаемся, что она равна левой.

B

P

C

M

N

A

Q D

Рис. 3

Задача 4. Доказать, что сумма квадратов медиан BM, AN, CP треугольника ABC равна Комплексные числа в планиметрии суммы квадратов его сторон. (Рис.4)

Решение. Требуется доказать: Комплексные числа в планиметрии Запишем левую часть, воспользовавшись формулами (2) и (4а), и убедимся в том, что она равна правой.

Задача 5. Доказать, что расстояние от вершины С треугольника АВС до точки D, симметричной центру описанной окружности относительно прямой АВ, вычисляется по формуле |CD|2=R2+|AC|2+|BC|2-|AB|2, где R -радиус описанной окружности. (Рис.5)

Решение. Точка M является серединой АВ, так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Точка М - середина ОD (по условию).

Тогда, Комплексные числа в планиметрии. Воспользуемся этим равенством, формулами (2) и (4а) и убедимся в справедливости |CD|2=R2+|AC|2+|BC|2-|AB|2.

D

M

O

B B

N

P

A

C

A M C

Рис. 4 Рис. 5

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы Комплексные числа в планиметрии иКомплексные числа в планиметрии сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b, т. е. при arg а - arg b=argКомплексные числа в планиметрии=0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).

Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=argКомплексные числа в планиметрии.

Комплексные числа с аргументами 0, Комплексные числа в планиметрии, Комплексные числа в планиметрииявляются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное Комплексные числа в планиметрии было действительным числом, т. е.

Комплексные числа в планиметрии или

Комплексные числа в планиметрии (6)

Действительно, так как в этом случае число Комплексные числа в планиметрии действительное (k=Комплексные числа в планиметрии), то критерий (6) эквивалентен такому:

Комплексные числа в планиметрии. (7)

Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

ОПР: Векторы Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.

Замечание:

1. На основании (6) имеем:

Комплексные числа в планиметрии; (8)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l,то

Комплексные числа в планиметрии, и поэтому условие (8) принимает вид:

Комплексные числа в планиметрии ; (9)

3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью векторов Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. Используя (8), получаем:

Комплексные числа в планиметрии. (10)

Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде

Комплексные числа в планиметрии (11)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l, то Комплексные числа в планиметрии, и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а-b) в такое:

Комплексные числа в планиметрии (12)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:

Комплексные числа в планиметрии, (10а)

Комплексные числа в планиметрии. (12a)

В частности, прямая ОА имеет уравнение Комплексные числа в планиметрии

Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа с аргументами Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии- являются чисто мнимыми.

Поэтому,

Комплексные числа в планиметрии

или

Комплексные числа в планиметрии (13)

Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а—b и с—d перпендикулярны. В силу (13) имеем:

Комплексные числа в планиметрии (14)

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l, то зависимость (14) упрощается:

Комплексные числа в планиметрии (15)

Выведем уравнение касательной к единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l в ее точке

P(р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то Комплексные числа в планиметрии и обратно. На основании (14) имеем:

Комплексные числа в планиметрии

или

Комплексные числа в планиметрии.

Поскольку Комплексные числа в планиметрии, то уравнение касательной становится таким:

Комплексные числа в планиметрии. (16)

Это частный случай уравнения (12a) при а=b=р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.

Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l, если точки А, В, С, D лежат на этой окружности и имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d.

Пользуясь уравнением (12а), получаем систему

Комплексные числа в планиметрии

из которой почленным вычитанием находим:

Комплексные числа в планиметрии (17)

В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab=-cd, и поэтому результат (17) приводится к виду

Комплексные числа в планиметрии

откуда

Комплексные числа в планиметрии (18)

В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как Комплексные числа в планиметрии, и, значит,

Комплексные числа в планиметрии (19)

3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касательных в точках A(а) и B(b) единичной окружности Комплексные числа в планиметрии=l. Для искомой координаты z имеем систему

Комплексные числа в планиметрии

из которой находим:

Комплексные числа в планиметрии

Поскольку Комплексные числа в планиметрии то получаем окончательно:

Комплексные числа в планиметрии или Комплексные числа в планиметрии (20)

Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.

Теорема Ньютона. В описанном около окружности четырехугольнике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.

Комплексные числа в планиметрии

Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четырехугольника AoBoCoDo через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М и N — середины диагоналей АoСo и BoDo соответственно. Тогда согласно (20) точки Аo, Вo, Сo, Do будут иметь соответственно комплексные координаты:

Комплексные числа в планиметрии

где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D.

Поэтому

Комплексные числа в планиметрии

Вычисляем Комплексные числа в планиметрии Поскольку Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметриито непосредственно видно, что Комплексные числа в планиметрииНа основании (6) точки О, М, N коллинеарны.

Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А1, B1, C1, то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 коллинеарны (рис.5).

Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеарности троек точек АВ1С, СА1В, ВС1А, A1B1C1:

Комплексные числа в планиметрии (21)

Если М, N, P — середины отрезков AA1, BB1, CC1, то предстоит показать, что

Комплексные числа в планиметрии (22)

Так как Комплексные числа в планиметрии то доказываемое равенство (22) эквивалентно такому:

Комплексные числа в планиметрии

или после перемножения:

Комплексные числа в планиметрии (23)

Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением равенств (21). Доказательство закончено.

Теорема Паскаля. Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и Комплексные числа в планиметрии (рис.6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус - за единицу длины. Тогда согласно (17) имеем:

Комплексные числа в планиметрии

Вычисляем

Комплексные числа в планиметрии

и аналогично

Комплексные числа в планиметрии

Далее находим:

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Поскольку числа Комплексные числа в планиметрии равны соответственно Комплексные числа в планиметрии, то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N, Р.

Teopeмa Mонжа. Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпендикулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам четырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М(z) серединного перпендикуляра к [AB] число Комплексные числа в планиметриичисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно Комплексные числа в планиметрии. Для каждой точки N(z) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число Комплексные числа в планиметрии необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z=Комплексные числа в планиметрии оно равно Комплексные числа в планиметриит. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

Комплексные числа в планиметрии лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать: Комплексные числа в планиметрии

Запишем Комплексные числа в планиметрии используя (15): Комплексные числа в планиметрии. Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A, B,C, D принадлежат окружности Комплексные числа в планиметрии, приходим к выводу, что Комплексные числа в планиметрии

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP, NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: Комплексные числа в планиметрии.

(a)Комплексные числа в планиметрии так как

Комплексные числа в планиметрии , cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: Комплексные числа в планиметрии но это и есть условие того, что Комплексные числа в планиметрии(см. 14).

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии положительно ориентированный угол, на который надо повернуть вектор Комплексные числа в планиметрии, чтобы он стал сонаправлен

Комплексные числа в планиметрии

с векторомКомплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии. Если Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии иКомплексные числа в планиметрии, то точкам Р и Q соответствуют комплексные числа b—а и d—c (рис.7) и

Комплексные числа в планиметрии (24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треугольнику АВС дает:

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии (25)

Если z=r(Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии ,то Комплексные числа в планиметрии Отсюда

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии (26)

Тогда Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии так как Комплексные числа в планиметрии

Итак,

Комплексные числа в планиметрии (27)

Аналогично находим:

Комплексные числа в планиметрии. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

или

Комплексные числа в планиметрии (29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

Комплексные числа в планиметрии (30)

Если треугольник АВС вписан в окружность Комплексные числа в планиметрии, то формула (29) преобразуется к виду

Комплексные числа в планиметрии. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

Комплексные числа в планиметрии (32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) принимает вид:

Комплексные числа в планиметрии (33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окружности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.

Возьмем четыре произвольные точки A, В, С, D соответственно с комплексными координатами а, b,c,d. Комплексное число

Комплексные числа в планиметрии (34)

называется двойным отношением точек A, В, С, D и обозначается (AB, CD). Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отношения Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметриидействительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А, В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два возможных случая:

1))точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ;

2)точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ.

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае Комплексные числа в планиметрииВСА+Комплексные числа в планиметрииАDВ= ±Комплексные числа в планиметрии, т. е. Комплексные числа в планиметрииВСА-Комплексные числа в планиметрииВСА= ±Комплексные числа в планиметрии. В обоих случаях разность Комплексные числа в планиметрии равна нулю или ±Комплексные числа в планиметрии. Но поскольку согласно (24) эта разность равна

Комплексные числа в планиметрии

то Комплексные числа в планиметрии — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если Комплексные числа в планиметрии действительное число, то и Комплексные числа в планиметрии действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число Комплексные числа в планиметрии комплексное, то и числоКомплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношение вещественно, то

Комплексные числа в планиметрии

Следовательно, либо Комплексные числа в планиметрииBCA=Комплексные числа в планиметрииBDA, либо Комплексные числа в планиметрииВСА—Комплексные числа в планиметрииВDА=±Комплексные числа в планиметрии, т.е. Комплексные числа в планиметрииВСА+Комплексные числа в планиметрииADB=±Комплексные числа в планиметрии. В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±Комплексные числа в планиметрии, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Комплексные числа в планиметрииДоказать, что для произвольной точки М окружности прямые Комплексные числа в планиметрииобразуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А, В, С, A1, B1, C1 комплексные числа Комплексные числа в планиметрииТогда по условию (9) параллельности хорд имеем Комплексные числа в планиметрии Следует доказать, что Комплексные числа в планиметрии (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому: Комплексные числа в планиметрии

Или

Комплексные числа в планиметрии

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

Комплексные числа в планиметрии

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности Комплексные числа в планиметриитак, что окружности Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии пересекаются в точках Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии; окружности Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии пересекаются в точках Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрии, окружности Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии— в точках Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрии и окружности Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии — в точках Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. Доказать, что если точки Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметриилежат на одной окружности или прямой, то и точки Комплексные числа в планиметрии также лежат на одной

Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:

Комплексные числа в планиметрии

Поэтому будет действительным и число

Комплексные числа в планиметрии

Следовательно, из вещественности двойного отношения Комплексные числа в планиметрии вытекает вещественность и двойного отношения Комплексные числа в планиметрии.

Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

ОПР: Треугольники АВС и Комплексные числа в планиметрииподобны и одинаково ориентированы (подобие первого рода), если только Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии

(углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так:

Комплексные числа в планиметрии

Два равенства Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии эквивалентны одному Комплексные числа в планиметрии или

Комплексные числа в планиметрии (35)

где Комплексные числа в планиметрии комплексное число, Комплексные числа в планиметриикоэффициент подобия.

Если, в частности,Комплексные числа в планиметрии - число действительное, то Комплексные числа в планиметриии на основании признака (8) будетКомплексные числа в планиметрии. По такой же причине Комплексные числа в планиметриииКомплексные числа в планиметрии. Следовательно, треугольники Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии гомотетичны.

Соотношение (35) — необходимый н достаточный признак того, что треугольники АВС и Комплексные числа в планиметрии являются подобными и одинаково ориентированными. Ему можно придать симметричный вид:

Комплексные числа в планиметрии (36)

или

Комплексные числа в планиметрии. (37)

ОПР. Треугольники АВС и Комплексные числа в планиметрииподобны и противоположно ориентированы (подобие второго рода), Комплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. Последнее равенство дает:

Комплексные числа в планиметрии

Два равенства

Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии

эквивалентны одному

Комплексные числа в планиметрии

или

Комплексные числа в планиметрии (38)

где Комплексные числа в планиметрии - комплексное число, Комплексные числа в планиметрии-коэффициент подобия.

Соотношение (38) есть необходимый и достаточный признак того, что треугольники АВС иКомплексные числа в планиметрии подобны и ориентированы противоположно. Его можно записать в симметричной форме:

Комплексные числа в планиметрии (39)

или же так:

Комплексные числа в планиметрии (40)

ЕслиКомплексные числа в планиметрии, то треугольники АВС и Комплексные числа в планиметриибудут равны (конгруэнтны).

Тогда соотношения (35) и (38) становятся признаками равенства треугольников соответственно одинаковой и противоположной ориентации.

Рассмотренные признаки подобия треугольников позволяют обосновать простой способ построение произведения и частного двух комплексных чисел. Пусть даны точки Комплексные числа в планиметрии с комплексными координатами Комплексные числа в планиметрии и требуется построить точку М с координатой z=ab. Тогда, очевидно, Комплексные числа в планиметрии. Это равенство говорит о том, что треугольники ОЕА и ОВМ подобны и одинаково ориентированы. Отсюда и вытекает способ построения точки М, соответствующей произведению ab (рис.10).

Обратно: если даны точки М и А соответственно с координатами ab и a, то точка В, соответствующая частному этих чисел строится на основании тех, же подобных треугольников.

Следует обратить внимание на один важный частный случай. Если |а|=1, то точка М будет образом точки В при повороте около нулевой точки на уголКомплексные числа в планиметрии. Если потребовать, чтобы ориентированный треугольник АВС был подобен ориентированному треугольнику BCA, то треугольник АВС необходимо будет правильным. Поэтому из условия (36) получаем необходимое и достаточное условие того, чтобы треугольник АВС был правильным

Комплексные числа в планиметрии (41)

или

Комплексные числа в планиметрии (42)

Введем в употребление комплексное числоКомплексные числа в планиметрии являющееся одним из корней уравнения Комплексные числа в планиметрии(Формула для нахождения корней -Комплексные числа в планиметрии) Другие два корня которого равны 1 иКомплексные числа в планиметрииКомплексные числа в планиметрии. По теореме Виета для кубического уравнения Комплексные числа в планиметрии имеем Комплексные числа в планиметрии Это легко проверить и непосредственно. Тогда равенство (41) будет эквивалентно такому:

Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

или после умножения первого трехчлена на Комплексные числа в планиметрии:

Комплексные числа в планиметрии. (43)

Итак, для того чтобы треугольник АВС был правильным, необходимо и достаточно выполнения хотя бы одного из равенств:

Комплексные числа в планиметрии (44)

или же

Комплексные числа в планиметрии (45)

Оказывается, первое из этих равенств соответствует только тому случаю, когда треугольник АВС ориентирован положительно, а второе выполняется лишь при отрицательной его ориентации. В самом деле, так как умножению на Комплексные числа в планиметрии отвечает поворот на Комплексные числа в планиметрии, то при положительной ориентации треугольника Комплексные числа в планиметрии(рис.11), откуда Комплексные числа в планиметриии поэтому Комплексные числа в планиметрии

Аналогично проверяется выполнение равенства (45) для отрицательно ориентированного правильного треугольника АВС. Очевидно, одновременно равенства (44) и (45) выполняться не могут.

Если правильный треугольник АВС вписан в окружностьКомплексные числа в планиметрии, то при его положительной ориентации Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрии, а при отрицательной ориентации Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрииПоэтому каждое из условий (44) и (45) принимает вид:

Комплексные числа в планиметрии (46)

Задача 1. Доказать, что треугольникКомплексные числа в планиметрии, стороны которого принадлежат касательным в вершинах треугольника АВС к его описанной окружности, гомотетичен треугольнику с вершинами в основаниях Комплексные числа в планиметриивысот треугольника АВС.

Решение. Принимаем описанную окружность за единичную Комплексные числа в планиметрии Руководствуясь формулами (20) и (19), получаем:

Комплексные числа в планиметрии

Проверяем выполнимость признака (35):

Комплексные числа в планиметрии

причемКомплексные числа в планиметрии, т. е. Комплексные числа в планиметрии-действительное число. Значит, треугольники Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрии гомотетичны.

3адача 2. Два равных одинаково ориентированных треугольника АВС и Комплексные числа в планиметрии вписаны в одну окружность. Доказать, что треугольник с вершинами в точках пересечения прямых ВС иКомплексные числа в планиметрии, СА иКомплексные числа в планиметрии, AB и Комплексные числа в планиметрииподобен данным треугольникам.

Решение. Придадим окружности уравнение Комплексные числа в планиметрии. Вершины. треугольника Комплексные числа в планиметрии служат образами вершин треугольника АВС при повороте на некоторый угол Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии. Поэтому Комплексные числа в планиметрии ЕслиКомплексные числа в планиметрии— точки пересечения прямых ВС и Комплексные числа в планиметрии СА и Комплексные числа в планиметрии АВ и Комплексные числа в планиметрии соответственно, то на основании (17) Комплексные числа в планиметрии откуда Комплексные числа в планиметрии Аналогично Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии

Осталось проверить условие (17): Комплексные числа в планиметрии что делается непосредственной подстановкой.

3адача 3. Доказать, что середины отрезков, соединяющих соответственные вершины двух равных и противоположно ориентированных треугольников, коллинеарны.

Решение. Для доказательства данной задачи воспользуемся:

1)Формулой (38),- необходимое и достаточное условие равенства двух противоположно ориентированных треугольников ABC и Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии;

2)Формулой (4а) для точек M, N, P: Комплексные числа в планиметрии (из условия задачи);

3)Формулой (11),- коллинеарности точек M, N, P: Комплексные числа в планиметрии

Теперь простой проверкой убеждаемся в том, что из 1)Комплексные числа в планиметрии2) Комплексные числа в планиметрии 3).

ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Пусть произвольной точке М плоскости комплексных чисел соответствует комплексное числоКомплексные числа в планиметрии. Из равенств Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии однозначно выражаются декартовы координаты х и у точки М через комплексные числа Комплексные числа в планиметриии Комплексные числа в планиметрии:

Комплексные числа в планиметрии (1)

Поэтому комплексные числа z и Комплексные числа в планиметрии называются сопряженными комплексными координатами этой точки.

Формулы (1) позволяют осуществить переход от уравнения геометрической фигуры в декартовых координатах к ее уравнению в сопряженных комплексных координатах. Однако сейчас мы предпочли непосредственное рассмотрение уравнений в сопряженных комплексных координатах.

Геометрический смысл уравнения

Комплексные числа в планиметрии

Найдем множество точек плоскости, сопряженные комплексные координаты которых удовлетворяют уравнению

Комплексные числа в планиметрии (2)

Сначала выделим особый случай, когда с=0. Тогда имеем систему относительно Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии

второе уравнение которой получается из первого переходом к сопряженным числам. Уравнивая коэффициенты при Комплексные числа в планиметрии, путем вычитания второго уравнения из первого получаем:

Комплексные числа в планиметрии

Если Комплексные числа в планиметрии, т.е. Комплексные числа в планиметрии, то решением полученного уравнения, а значит, и решением исходного уравнения Комплексные числа в планиметрии будет единственное число z=0. При Комплексные числа в планиметрии уравнение Комплексные числа в планиметрии напишем в виде Комплексные числа в планиметрии. Модули левой и правой частей равны. Необходимо, чтобы Комплексные числа в планиметрии, откуда Комплексные числа в планиметрии. Этому условию удовлетворяет каждая точка прямей m, проходящей через начало под углом Комплексные числа в планиметрии к действительной оси (рис.1). Так, уравнением

Комплексные числа в планиметрии (3)

Комплексные числа в планиметрии

задается прямая при Комплексные числа в планиметрии и точка Комплексные числа в планиметрии при Комплексные числа в планиметрии.

Пусть теперь Комплексные числа в планиметрии. Свободный член уравнения (2) можно всегда сделать действительным числом путем умножения обеих частей уравнения на с. Поэтому сразу будем полагать Комплексные числа в планиметрии Тогда имеем систему:

Комплексные числа в планиметрии

из которой получаем: Комплексные числа в планиметрии. Рассмотрим возможные случаи.

Если Комплексные числа в планиметрии, то Комплексные числа в планиметрии и подстановкой в исходное уравнение получаем: Комплексные числа в планиметрии или Комплексные числа в планиметрии.

При Комплексные числа в планиметрии его решение единственно:

Комплексные числа в планиметрии

При Комплексные числа в планиметрии решений нет.

Если Комплексные числа в планиметрии, то Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии, т. е. Комплексные числа в планиметрии. В этом случае уравнением (2) при Комплексные числа в планиметрии прямая. В самом деле, возьмем точку Комплексные числа в планиметрии и вектор Комплексные числа в планиметрии точки В(b) и рассмотрим множество точек М(z), для каждой из которых (MQ)Комплексные числа в планиметрии(OB):

Комплексные числа в планиметрии (4)

Очевидно, это множество есть прямая. При Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии уравнение (4) эквивалентно уравнению (2).

Таким образом, при Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии уравнение (2) есть уравнение прямой, которая проходит через точку Комплексные числа в планиметрии перпендикулярно вектору Комплексные числа в планиметрии.

Наконец, отметим случай, когда Комплексные числа в планиметрии, но Комплексные числа в планиметрии. Тогда система

Комплексные числа в планиметрии

приводит к противоречию: Комплексные числа в планиметрии, т.е. Комплексные числа в планиметрии.

Подведем итоги. Уравнением Комплексные числа в планиметрии, в котором хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, задается:

1) прямая при |а|=|b|, с=0, а также при Комплексные числа в планиметрии;

2) единственная точка при Комплексные числа в планиметрии;

3) пустое множество в иных случаях, т. е. при |a| = |b|, Комплексные числа в планиметрии, а также при Комплексные числа в планиметрии, Комплексные числа в планиметрии.

Достигнув поставленной цели, возвратимся снова к системе:

Комплексные числа в планиметрии

не налагая ограничений на коэффициенты а, b, с, кроме того, что a и b не равны нулю одновременно. Уравнивая коэффициенты при Комплексные числа в планиметрии, приходим к уравнению Комплексные числа в планиметрии, которое:

а) имеет единственное решение при Комплексные числа в планиметрии;

б) имеет бесконечное множество решений при Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии;

в) не имеет решений при Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии.

Отсюда и на основании результата предыдущих исследований получаем, что уравнение Комплексные числа в планиметрии определяет:

а) единственную точку при Комплексные числа в планиметрии

б) прямую при Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии;

в) пустое множество при Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии.

Уравнение

Комплексные числа в планиметрии (5)

прямой в сопряженных комплексных координатах будем называть приведенным уравнением прямой.

Две прямые. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая т задана приведенным уравнением Комплексные числа в планиметрии. Так как она перпендикулярна вектору Комплексные числа в планиметрии, то вектор Комплексные числа в планиметрии будет ей параллелен (рис.2). Следовательно, ориентированный угол от оси х до прямой т равен аргументу числа ai:

Комплексные числа в планиметрии

Комплексные числа в планиметрии. (6)

Положительно ориентированный угол Комплексные числа в планиметрии от прямой Комплексные числа в планиметрии до прямой Комплексные числа в планиметрии равен углу между их направляющими векторами Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии:

Комплексные числа в планиметрии. (7)

Формулы (6) и (7) позволяют находить соответствующие углы с точностью до слагаемого Комплексные числа в планиметрии.

Из формулы (7) вытекает критерий перпендикулярности и критерий параллельности прямых Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. В самом деле, Комплексные числа в планиметрии чисто мнимое число. Это значит, что Комплексные числа в планиметрии, или

Комплексные числа в планиметрии. (8)

При Комплексные числа в планиметрии или Комплексные числа в планиметрии получаем:

Комплексные числа в планиметрии. (9)

Если прямая Комплексные числа в планиметрии проходит через точку Комплексные числа в планиметрии, то Комплексные числа в планиметрии и ее уравнение можно написать в виде:

Комплексные числа в планиметрии (10)

В силу условия (8) перпендикулярности для прямой, перпендикулярной данной, коэффициентами при, z и Комплексные числа в планиметрии будут соответственно числа а и Комплексные числа в планиметрии. Поэтому на основании уравнения (10) получаем уравнение

Комплексные числа в планиметрии (11)

прямой, проходящей через точку Комплексные числа в планиметрии перпендикулярно прямой Комплексные числа в планиметрии. Решение системы

Комплексные числа в планиметрии

дает координату

Комплексные числа в планиметрии (12)

основания M1 перпендикуляра, опущенного из точки Комплексные числа в планиметрии на прямую Комплексные числа в планиметрии.

Так как расстояние d от точки M0 этой прямой равноКомплексные числа в планиметрии, то

Комплексные числа в планиметрии. (13)

Геометрический смысл, уравнения

Комплексные числа в планиметрии

Из формулы расстояния между двумя точками получается уравнение окружности по ее центру S (s) и радиусу R :

Комплексные числа в планиметрии (14)

Пусть дано уравнение

Комплексные числа в планиметрии, (15)

в котором на комплексные коэффициенты а, b, с не накладывается заранее никаких условий. Требуется найти множество точек, координаты которых ему удовлетворяют. С этой целью удобно представить его в эквивалентном виде:

Комплексные числа в планиметрии. (16)

Рассмотрим все возможные случаи для коэффициентов а, b, с.

1. Сравнивая уравнение (16) с уравнением (14) окружности, приходим к выводу, что уравнение (16), а значит, и уравнение (15) задают окружность тогда и только тогда, когда Комплексные числа в планиметрии и ab—с - действительное число. Так как в этом случае Комплексные числа в планиметрии, то с должно быть действительным числом.

Итак, уравнение

Комплексные числа в планиметрии (17)

есть уравнение окружности с центром s=-b и радиусом Комплексные числа в планиметрии.

2. При Комплексные числа в планиметриии с=ab уравнению (16) удовлетворяет единственная точка s=-b. В частности, этот случай имеет место при а=b=с=0. Соблюдая аналогию, говорят, что уравнением Комплексные числа в планиметрии задается окружность с центром s=-b нулевого радиуса.

3. Если Комплексные числа в планиметрии, Комплексные числа в планиметрии, но Комплексные числа в планиметрии, то Комплексные числа в планиметрии - чисто мнимое число. Полагаем Комплексные числа в планиметрии, тогда (16) можно записать так:

Комплексные числа в планиметрии. (18)

Уравнению (18) не удовлетворяет ни одна точка плоскости, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна при любом значении z. Говорят, что это уравнение есть уравнение окружности мнимого радиуса iR с действительным центром S, имеющим комплексную координату s=-b.

4. Когда Комплексные числа в планиметрии, но Комплексные числа в планиметрии, уравнение (16) противоречиво: левая часть его действительна, а правая нет. В этом случае оно не задает никакого геометрического образа (даже мнимого!).

5. Осталось рассмотреть случай, когда Комплексные числа в планиметрии. Тогда из уравнения (15) вычтем уравнение Комплексные числа в планиметрии, получающееся из (15) переходом к сопряженным комплексным числам. Получаем:

Комплексные числа в планиметрии,

откуда

Комплексные числа в планиметрии

Выполняя эту подстановку в уравнение (15), приводим его к виду

Комплексные числа в планиметрии. (19)

При Комплексные числа в планиметрии уравнения (15) и (19) равносильны. В зависимости от того, отличен от нуля или равен нулю дискриминант

Комплексные числа в планиметрии

квадратного уравнения (19), оно будет определять две различные (действительные!) или две совпавшие точки. При D=0 совпавшие точки имеют комплексную координату

Комплексные числа в планиметрии

В частности, при c=ab как уравнение (16), так и уравнение (19) дает пару точек z1=-b и Комплексные числа в планиметрии.

Итак, уравнением (15) задается либо окружность (действительная, мни мая, нулевого радиуса), либо две точки (различные или же совпавшие), либо пустое множество точек.

Рассмотрим одну замечательную пару окружностей.

Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Тогда, очевидно, касательная к одной из ортогональных окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.

Для того чтобы окружности (A, R) и (В, r) были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы |AB|2=R2+r2 , или

Комплексные числа в планиметрии. (20)

Если окружности заданы уравнениями

Комплексные числа в планиметрии

и

Комплексные числа в планиметрии

то Комплексные числа в планиметрии, и поэтому критерий (20) их ортогональности трансформируется так:

Комплексные числа в планиметрии (21)

Решение задач

Задача 1. Хорды АВ и PQ окружности пересекаются в точке С. Найти множество точек М пересечения прямых АР и BQ, если точки А, В, С постоянны, а точки Р и Q пробегают данную окружность (рис.3).

Решение. Пусть z - комплексная координата произвольной точки М искомого множества и данная окружность принята за единичную Комплексные числа в планиметрии. В силу зависимости координат точек, принадлежащих секущей к окружности (см. предыдущую статью), имеем:

Комплексные числа в планиметрии

откуда Комплексные числа в планиметрии. Подставляя эти выражения во второе равенство, получаем:

Комплексные числа в планиметрии,

или

Комплексные числа в планиметрии

Привлекая Комплексные числа в планиметрии, полученному уравнению придадим вид

Комплексные числа в планиметрии.

Теперь ясно, что искомое множество точек представляет собой пару прямых, одной из которых является прямая АВ, а другая имеет уравнение

Комплексные числа в планиметрии (22)

в приведенной форме. Как видим, эта прямая не зависит от хорды АВ, а определяется лишь окружностью и точкой С. Она называется полярой точки С относительно окружности Комплексные числа в планиметрии.

Задача 2. Около окружности описан квадрат ABCD. Точки Комплексные числа в планиметрии - ортогональные проекции его вершин A, В, С, D соответственно на произвольную касательную к окружности. Доказать, что

Комплексные числа в планиметрии.

Решение. Радиус окружности примем за единицу длины. Систему координат выберем так, чтобы точки касания сторон АВ, ВС, CD, DA с окружностью имели координаты Комплексные числа в планиметрии. Тогда вершины А, В, С, D будут иметь координаты Комплексные числа в планиметрииКасательная к окружности в ее произвольной точке Р (р) имеет уравнение Комплексные числа в планиметрии в приведенной форме. Руководствуясь формулой (13), находим:

Комплексные числа в планиметрии

Аналогично получаем:

Комплексные числа в планиметрии

Равенство доказано.

Задача 3. Вершины A и В прямоугольного равнобедренного треугольника АВС спроектированы параллельно некоторой прямой l на прямую, проходящую через вершину С прямого угла, соответственно в точки Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. Доказать, что сумма Комплексные числа в планиметрии зависит только от угла Комплексные числа в планиметрии между осью проекций и прямой l (при заданном треугольнике АВС).

Решение. Примем ось проекций за действительную ось х и вершину С за начало О. Прямую l проведем через О и зададим принадлежащей ей точкой Р(р), |p|=1. Ее уравнение имеет видКомплексные числа в планиметрии. Если вершина A имеет координату а, |а|=1, то вершине В соответствует число ai (рис.4).

Комплексные числа в планиметрии

Прямые АА1 и BB1 получают уравнения Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии. Для точек, лежащих на оси х проекций,Комплексные числа в планиметрии. Подстановкой в предыдущие уравнения получаем координаты точек А1 и В1:

Комплексные числа в планиметрии.

Находим:

Комплексные числа в планиметрии,

где Комплексные числа в планиметрии - указанный в условии задачи угол.

Задача 4. На окружности Комплексные числа в планиметрии взяты четыре произвольные точки А, В, С, D. Окружности Комплексные числа в планиметриисоответственно с центрами A, В, С и проходящие через точку D пересекаются вторично попарно в точках Комплексные числа в планиметрии(рис.5). Доказать, что точки Комплексные числа в планиметрии коллинеарны.

Решение. Пусть окружность Комплексные числа в планиметрии является единичной и точка D имеет координату d=l. Используя уравнение (14) и тот факт, что окружность Комплексные числа в планиметрииимеет центр A(а) и содержит точку D(1), получаем ее уравнение

Комплексные числа в планиметрии, или Комплексные числа в планиметрии. Аналогично окружности Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии будут иметь уравнения

Комплексные числа в планиметрии и

Комплексные числа в планиметрии.

Решая систему уравнений окружностей Комплексные числа в планиметрии и Комплексные числа в планиметрии, находим координату второй общей точки М3 этих окружностей: m3=a+b-ab.

Комплексные числа в планиметрии Комплексные числа в планиметрии

Аналогично m2=c+a-ca, m1=b+c-bc.

Отсюда находим:

Комплексные числа в планиметрии.

Это число сопряжено самому себе, и потому точки Комплексные числа в планиметрии коллинеарны.

Задача 5. Найти множество центров окружностей, проходящих через данную точку М (т) ортогонально данной окружности Комплексные числа в планиметрии.

Решение. Если окружность Комплексные числа в планиметрииобладает заданным свойством, то

Комплексные числа в планиметрии

Исключая Комплексные числа в планиметрии получаем уравнение относительно Комплексные числа в планиметрии:

Комплексные числа в планиметрии.

Им определяется прямая с нормальным вектором Комплексные числа в планиметрии, который равен вектору Комплексные числа в планиметрии, где Комплексные числа в планиметрии- центр данной окружности. Следовательно, эта прямая перпендикулярна прямой AM (рис.6).

Заключение

Многие задачи элементарной геометрии можно изящно и просто решать при помощи комплексных чисел. Однако, значение комплексных чисел заключается не только в изяществе и краткости решения задач посредством этих чисел, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения комплексных чисел при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы и задачи, к тому же многие из них еще не сформулированы. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе применения комплексных чисел к решению планиметрических задач, а что, если комплексные числа применять к решению стереометрических задач?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно давать не только студентам высших учебных заведений, но и старшим школьникам на факультативных занятиях. Так как этот метод прост в применении, использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Дает возможность посмотреть на задачи по геометрии с другой стороны, приучить к тому, что все наглядные задачи (правильность которых видна из чертежа) можно решать аналитическим способом, вообще не прибегая к чертежу.

Список использованной литературы

1.

.З. А. Скопец Геометрические миниатюры.- М.: Просвещение, 1990

2.Л. И. Волковский Сборник задач по теории функций комплексных переменных.- М.: Просвещение, 1985

3.И. И. Привалов Введение в теорию функции комплексного переменного.- М.: Просвещение, 1988



 
© 2012 Рефераты, доклады, дипломные и курсовые работы.